已知函数f(t)是奇函数且是R上的增函数,若x,y满足不等式f(x^2-2x)≤-f(y^2-2y),则x^2+y^2的最大值 急
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/27 08:12:47
已知函数f(t)是奇函数且是R上的增函数,若x,y满足不等式f(x^2-2x)≤-f(y^2-2y),则x^2+y^2的最大值 急
已知函数f(t)是奇函数且是R上的增函数,若x,y满足不等式f(x^2-2x)≤-f(y^2-2y),则x^2+y^2的最大值 急
已知函数f(t)是奇函数且是R上的增函数,若x,y满足不等式f(x^2-2x)≤-f(y^2-2y),则x^2+y^2的最大值 急
因为函数f(t)是奇函数
所以-f(y^2-2y)=f(2y - y^2)
因为f(t)是增函数 所以 x^2 -2x ≤ 2y- y^2
x^2 +y^2 ≤2(x+y)
又 (x+y)/2 ≤ √[(x^2 +y^2)/2] 2(x+y)≤ 2√[2(x^2 +y^2)]
令a=x^2+y^2 a≤2√(2a) 解得a≤8
故x^2+y^2的最大值为8
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f(x^2-2x)<=-f(y^2-2y)=f(-y^2+2y) (f(t)是奇函数)
x^2-2x<=-y^2+2y (f(t)是R上的增函数)
x^2-2x+1+y^2-2y+1<=2
(x-1)^2+(y-1)^2<=2
(x-1)^2+(y-1)^2=2是圆心为：(1，1)，半径为：r=√2的圆，
x^2+y^2是点(0，0)与圆上的点(x...
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f(x^2-2x)<=-f(y^2-2y)=f(-y^2+2y) (f(t)是奇函数)
x^2-2x<=-y^2+2y (f(t)是R上的增函数)
x^2-2x+1+y^2-2y+1<=2
(x-1)^2+(y-1)^2<=2
(x-1)^2+(y-1)^2=2是圆心为：(1，1)，半径为：r=√2的圆，
x^2+y^2是点(0，0)与圆上的点(x，y)的距离的平方。
结合图形，由平面几何知识，可知：
当点(x，y)在圆心(1，1)与点(0，0)所连的直线上时，
点(0，0)与圆上的点(x，y)的距离有最小，最大值。
最小值为：r-d，最大值为：r+d， （d为圆心(1，1)与点(0，0)间的距离=√2）
(1，1)与点(0，0)所连的直线为：y=x，
所以所求x^2+y^2的最大值为：
(r+d)^2=(√2+√2)^2=8。
PS：一楼错了，题设中没有：X，Y都为正数，的条件，
怎可用基本不等式来解。
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