设函数f(x)=log1/2(x+1-a/x)在区间[1,+∞)上单调递减 求实数a的取值范围

设函数f(x)=log1/2(x+1-a/x)在区间[1,+∞)上单调递减 求实数a的取值范围
设函数f(x)=log1/2(x+1-a/x)在区间[1,+∞)上单调递减 求实数a的取值范围

设函数f(x)=log1/2(x+1-a/x)在区间[1,+∞)上单调递减 求实数a的取值范围
函数f(x)定义域要求
x+1-a/x>0.(1)
若f(x)在[1,+∞)单调递减首先要求[1,+∞)为（1）式结果的子区间,即该区间内的任意数均满足(1)式
令g(x)=x+1-a/x,
则dg/dx=1+a/x^2
若f(x)在[1,+∞)单调递减,由对数函数单调性知,要求g(x)在[1,+∞)单调递增
且g(x)>0在[1,+∞)上恒成立.
则要求
dg/dx=1+a/x^2>0,且g(1)=2-a>0在[1,+∞)上恒成立
g(1)>0==>a=0时dg/dx=1+a/x^2>0恒成立.
若a0即x^2+a>0,显然只需1+a>0,及a>-1即可
综上所述,要求a取值范围是(-1,2)

f(x)=log1/2(x+1-a/x)在区间[1,+∞)上单调递减,而log1/2 x在（-∞，+∞）是单调减的，
所以在区间[1,+∞) x+1-a/x单调增加
又其导数为1+a/x^2=(x^2-a)/x^2,
那么区间[1,+∞) (x^2-a)/x^2>=0,
即得a=<1,
再由定义条件区间[1,+∞)上 x+1-a/x>0,再由x+1-a/x单...

全部展开

f(x)=log1/2(x+1-a/x)在区间[1,+∞)上单调递减,而log1/2 x在（-∞，+∞）是单调减的，
所以在区间[1,+∞) x+1-a/x单调增加
又其导数为1+a/x^2=(x^2-a)/x^2,
那么区间[1,+∞) (x^2-a)/x^2>=0,
即得a=<1,
再由定义条件区间[1,+∞)上 x+1-a/x>0,再由x+1-a/x单调增加，
即有1+1-a/1>0,a<2
综合得a<=1

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