已知a,b均是非零向量,设a与b的夹角的为θ,问是否存在θ,使|a+b|=根号下3|a-b|求θ
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 18:08:56
已知a,b均是非零向量,设a与b的夹角的为θ,问是否存在θ,使|a+b|=根号下3|a-b|求θ
已知a,b均是非零向量,设a与b的夹角的为θ,问是否存在θ,使|a+b|=根号下3|a-b|
求θ
已知a,b均是非零向量,设a与b的夹角的为θ,问是否存在θ,使|a+b|=根号下3|a-b|求θ
|a+b|²=3|a-b|²===>2a²-8a*b+2b²=0===>|a|²-4|a||b|cosθ+|b|²=0
∴cosθ=(|a|²+|b|²)/4|a||b|
当|a|=|b|时,cosθ有最小值1/2
∴1/2≤cosθ0º
设i,j为相垂直的单位向量
a=mi (m=|a|)
b=(ncosθ)i+(nsinθ)j (n=|b|)
|a+b|=(根号3)|a-b|
|(m+ncosθ)i+(nsinθ)j|^2=3*|(m-ncosθ)i-(nsinθ)j|^2
(m+ncosθ)^2+(nsinθ)^2=3((m-ncosθ)^2+(nsinθ)^2)
m^2+n^2...
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设i,j为相垂直的单位向量
a=mi (m=|a|)
b=(ncosθ)i+(nsinθ)j (n=|b|)
|a+b|=(根号3)|a-b|
|(m+ncosθ)i+(nsinθ)j|^2=3*|(m-ncosθ)i-(nsinθ)j|^2
(m+ncosθ)^2+(nsinθ)^2=3((m-ncosθ)^2+(nsinθ)^2)
m^2+n^2+2mncosθ=3(m^2+n^2-2mncosθ)
m^2+n^2=4mncosθ
cosθ=(m^2+n^2)/(4mn)=(a^2+b^2)/(4|a|*|b|)
θ=arccos((a^2+b^2)/(4|a|*|b|))
收起
因为“a+b的模=根下3倍的a-b的模”，所以两边平方，得到：
（a+b)^2=3*(a-b)^2,打开括号整理得到：
a^2+b^2=2ab
cosθ=（a^2+b^2)/4(ab模长的乘积）
所以θ的范围：（0，60].