已知：梯形ABCD中,DC平行于AB,AC=CB,∠ACB=90°,BD=AB,AC、BD相交于E.求证：△ADE是等腰三角形
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 08:41:56
已知：梯形ABCD中,DC平行于AB,AC=CB,∠ACB=90°,BD=AB,AC、BD相交于E.求证：△ADE是等腰三角形
已知：梯形ABCD中,DC平行于AB,AC=CB,∠ACB=90°,BD=AB,AC、BD相交于E.求证：△ADE是等腰三角形
已知：梯形ABCD中,DC平行于AB,AC=CB,∠ACB=90°,BD=AB,AC、BD相交于E.求证：△ADE是等腰三角形
作BF⊥AD于F交AC于I,作DH⊥AB于H,CG⊥AB于G.在直角三角形ACB中,因为AC=BC,故∠CBA=45度=∠GCB,故直角三角形CGB也是等腰三角形且CG=BG=AG=1/2*AB=1/2*BD,又梯形中的高都相等,故DH=CG=1/2*BD,故∠DBA=30度,又等腰三角形DBA中,BF平分∠DBA,故∠FBA=∠DBF=15度,又∠CBD=∠CBA-∠DBA=45度-30度=15度,故∠CBF=∠CBD+∠DBF=30度.
而在直角三角形AFI和直角三角形BCI中,两直角相等,∠FIA=∠CIB,故剩下的一个角∠FAI=∠CBI=30度=∠DBA,又∠ADB公共,故三角形ADE相似于三角形BDA,故三角形ADE和三角形BDA一样,也是等腰三角形.且AD=AE
过B做DC的垂线，交DC的延长线于F。
显然△BCF为等腰直角三角形。
BC：CF：FB=√2:1:1
又由△ABC为等腰直角三角形得：
AB：AC：BC=√2:1:1
又BD=AB，
所以BD：BF=2：1
而BF与DC垂直，
所以,∠BDF=30度
而BD=AB，
所以,∠BAD=∠BDA=75度
下面只需...
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过B做DC的垂线，交DC的延长线于F。
显然△BCF为等腰直角三角形。
BC：CF：FB=√2:1:1
又由△ABC为等腰直角三角形得：
AB：AC：BC=√2:1:1
又BD=AB，
所以BD：BF=2：1
而BF与DC垂直，
所以,∠BDF=30度
而BD=AB，
所以,∠BAD=∠BDA=75度
下面只需证明∠DEA也为75度即可。
∠BAC=45度,∠ABD=∠BDF=30度
显然∠DEA也为75度
因而,∠DEA=∠BAD=∠BDA=75度
因此△ADE是等腰三角形
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