求极限凑活看吧
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 16:51:58
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求极限
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这道题的解法不需要运用洛必达法则,用几个等价无穷小量的代换足矣!不仅方便,避免繁琐计算.关键在于2次运用该等价无穷小：根号（1+x)-1~(x/2)
详细解法如下,点击放大图：
洛比达定理，上下都求导，一直求到分子分母极限都不为0为止。然后利用x趋于0求极限
如图
∵ [√(1+tanx)-√(1+sinx)]/[x√(1+sin²x)-x]
=[(tanx-sinx)/(xsinx)]*{[√(1+sin²x)+1]/[√(1+tanx)+√(1+sinx)]} (分子分母都有理化,并化简整理)
=[(1-cosx)/(xsinxcosx)]*{[√(1+sin²x)+1...
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∵ [√(1+tanx)-√(1+sinx)]/[x√(1+sin²x)-x]
=[(tanx-sinx)/(xsinx)]*{[√(1+sin²x)+1]/[√(1+tanx)+√(1+sinx)]} (分子分母都有理化,并化简整理)
=[(1-cosx)/(xsinxcosx)]*{[√(1+sin²x)+1]/[√(1+tanx)+√(1+sinx)]}
={4sin²(x/2)/[xsin(2x)]}*{[√(1+sin²x)+1]/[√(1+tanx)+√(1+sinx)]}
=(1/2)*[(2x)/sin(2x)]*[sin(x/2)/(x/2)]²*{[√(1+sin²x)+1]/[√(1+tanx)+√(1+sinx)]}
又lim(x->0)[(2x)/sin(2x)]=1 (应用重要极限lim(x->0)(sinx/x)=1)
lim(x->0)[sin(x/2)/(x/2)]²=1 (应用重要极限lim(x->0)(sinx/x)=1)
lim(x->0){[√(1+sin²x)+1]/[√(1+tanx)+√(1+sinx)]}=(1+1)/(1+1)=1
∴原式=(1/2)*1*1*1=1/2.
收起
打数学符号太麻烦了，我简单说下思路吧。分子分母都需要有理化！有理化后约分的式子为(tanX-sinX)/Xsin2X.注意这个2是平方，不是2倍的意思哦。然后sin2X可以用等价无穷小，即X的平方代替！最后分子分母运用洛比达法则三次，得出结果！