在平面直角坐标系中,把矩形OABC的边OA,OC分别放在x轴和y轴的正半轴上,已知OA=2√3,OC=2(1)直接写出A,B,C三点的坐标；（2）将矩形OABC绕点O逆时针旋转α°,得到矩形OA1B1C1,其中点A的对应点为点A1①

在平面直角坐标系中,把矩形OABC的边OA,OC分别放在x轴和y轴的正半轴上,已知OA=2√3,OC=2(1)直接写出A,B,C三点的坐标；（2）将矩形OABC绕点O逆时针旋转α°,得到矩形OA1B1C1,其中点A的对应点为点A1①
在平面直角坐标系中,把矩形OABC的边OA,OC分别放在x轴和y轴的正半轴上,已知OA=2√3,OC=2
(1)直接写出A,B,C三点的坐标；
（2）将矩形OABC绕点O逆时针旋转α°,得到矩形OA1B1C1,其中点A的对应点为点A1
①当0＜α＜90时,设AC交OA1与点K（如图1）,若OAK为等腰三角形,请直接写出α的值；
②当α=90时（如图2）,延长AC交A1C1与点D,求证：AD⊥A1C1；
③当点B1落在y轴正半轴上时（如图3）,设BC与OA1交于点P,问经过B1,P两点的直线是否平分矩形OABC的面积?请说明理由.

在平面直角坐标系中,把矩形OABC的边OA,OC分别放在x轴和y轴的正半轴上,已知OA=2√3,OC=2(1)直接写出A,B,C三点的坐标；（2）将矩形OABC绕点O逆时针旋转α°,得到矩形OA1B1C1,其中点A的对应点为点A1①
1）A（2√3,0） B（2√3,2） C（0,2）
2）①α=30度
②A1C1是矩形OA1B1C1的对角线,矩形OA1B1C1 是矩形OABC经过旋转90度后得到的矩形,OA=2√3,OC=2,所以角C1DA=60度,角OAC=30度,所以在三角形C1DA中,角C1DA=90度,所以AD⊥A1C1.
③不平分.
理由：当点B1落在y轴正半轴上时,连接AB1,则AB1是直角三角形AOB1的斜边,不与x轴垂直,所以不矩形OABC的面积.

(1)A(2√3，0)，B(2√3，2)，C(0，2)

）∵点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，
∴OP=t，OC=2，
∴P（t，0），
设CP的中点为F，
F（ t/2，1），
∴Dt+1， t/2）；
（2）∵D点坐标为（t+1， t/2），OA=4，
∴S△DPA= 1/2AP×1= 1/2（4-t）× t/2= 1/4（4t-t²），
∴当t=2...

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）∵点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，
∴OP=t，OC=2，
∴P（t，0），
设CP的中点为F，
F（ t/2，1），
∴Dt+1， t/2）；
（2）∵D点坐标为（t+1， t/2），OA=4，
∴S△DPA= 1/2AP×1= 1/2（4-t）× t/2= 1/4（4t-t²），
∴当t=2时，S最大=1；
（3）能够成直角三角形．
①当∠PDA=90°时，PC∥AD，
PD2+AD2=AP2，
（ t/2）2+1+（4-t-1）2+（ t/2）2=（4-t）2，
t=2或t=-6（舍去）．
∴t=2秒．
②当∠PAD=90°时，此时点D在AB上，t+1=4，t=3秒．
综上，可知当t为2秒或3秒时，△DPA能成为直角三角形．
4）∵根据点D的运动路线与OB平行且相等，OB=2 √5，
∴点D运动路线的长为2√ 5．

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（1）A（2
3
，0），B（2
3
，2），C（0，2）．
（2）①x的值为30°或75°，
②由题意得：△OAC≌△OA1C1．
∴∠OAC=∠OA1C1．
∴∠OAC+∠OC1A1=∠OA1C1+∠OC1A1=90°，
∴∠ADC1=90°，
∴AD⊥A1C1
③在Rt△OA1B1中，
∵OA1=...

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（1）A（2
3
，0），B（2
3
，2），C（0，2）．
（2）①x的值为30°或75°，
②由题意得：△OAC≌△OA1C1．
∴∠OAC=∠OA1C1．
∴∠OAC+∠OC1A1=∠OA1C1+∠OC1A1=90°，
∴∠ADC1=90°，
∴AD⊥A1C1
③在Rt△OA1B1中，
∵OA1=OA=2
3
，A1B1=AB=2，
∴tan∠A1OB1=
2
2
3
=
3
3
，
∴∠A1OB1=30°
在Rt△OCP中，CP=OC•tan∠COP=2•
3
3
=
2
3
3
∴P(
2
3
3
，2)．
设反比例函数为y=
k
x
，把P(
2
3
3
，2)代入，得k=
4
3
3
，即y=
4
3
3x
．
设矩形OABC的对角线OB、AC相交于点Q，则Q是矩形OABC的对称中心，且点Q的坐标为(
3
，1)．
把x=
3
代入y=
4
3
3x
，得y=
4
3
≠1．

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（1）由已知OA=2 3，OC=2．可直接得出A、B、C三点的坐标；
（2）①根据△OAK为等腰三角形，利用等腰三角形的性质可求的x的值为30°或75；
②由题意得：△OAC≌△OA1C1．然后求证∠OAC+∠OC1A1=∠OA1C1+∠OC1A1=90°，得∠ADC1=90°即可，
③根据OA1=OA=2 3
，A1B1=AB=2，利用三角函数求得∠A1OB1=...

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（1）由已知OA=2 3，OC=2．可直接得出A、B、C三点的坐标；
（2）①根据△OAK为等腰三角形，利用等腰三角形的性质可求的x的值为30°或75；
②由题意得：△OAC≌△OA1C1．然后求证∠OAC+∠OC1A1=∠OA1C1+∠OC1A1=90°，得∠ADC1=90°即可，
③根据OA1=OA=2 3
，A1B1=AB=2，利用三角函数求得∠A1OB1=30°，设反比例函数为y=k
x
，把P(2 3

3
，2)代入，求得k=4 3

3
，然后可证反比例函数的图象不经过矩形OABC的对称中心．
（1）A（2 3 ，0），B（2 3 ，2），C（0，2）．
（2）①x的值为30°或75°，
②由题意得：△OAC≌△OA1C1．
∴∠OAC=∠OA1C1．
∴∠OAC+∠OC1A1=∠OA1C1+∠OC1A1=90°，
∴∠ADC1=90°，
∴AD⊥A1C1
③在Rt△OA1B1中，
∵OA1=OA=2 3 ，A1B1=AB=2，
∴tan∠A1OB1=2 2 3 = 3 3 ，
∴∠A1OB1=30°
在Rt△OCP中，CP=OC•tan∠COP=2• 3 3 =2 3 3
∴P(2 3 3 ，2)．
设反比例函数为y=k x ，把P(2 3 3 ，2)代入，得k=4 3 3 ，即y=4 3 3x ．
设矩形OABC的对角线OB、AC相交于点Q，则Q是矩形OABC的对称中心，且点Q的坐标为( 3 ，1)．
把x= 3 代入y=4 3 3x ，得y=4 3 ≠1．
∴反比例函数的图象不经过矩形OABC的对称中心．

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