设双曲线x^2/3-y^2=1上一点P,F1,F2为两焦点,求向量PF1×向量PF2的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 06:19:38
设双曲线x^2/3-y^2=1上一点P,F1,F2为两焦点,求向量PF1×向量PF2的取值范围
设双曲线x^2/3-y^2=1上一点P,F1,F2为两焦点,求向量PF1×向量PF2的取值范围
设双曲线x^2/3-y^2=1上一点P,F1,F2为两焦点,求向量PF1×向量PF2的取值范围
∵c²=a²+b² ∴c=2
∴F1(-2,0),F2(2,0)
双曲线参数方程为：
x=√3secθ,y=tanθ
(这里：-π/2＜θ＜π/2或者：π/2＜θ＜3π/2)
∵P点坐标：(√3secθ,tanθ)
∴向量PF1=(-2-√3secθ,-tanθ),向量PF2=(2-√3secθ,-tanθ)
∴内积：PF1·PF2=(-2-√3secθ)×(2-√3secθ)+(-tanθ)×(-tanθ)
=3sec²θ-4+tan²θ=4tan²θ-1
∵tanθ∈R ∴tan²θ≥0
∴PF1·PF2=4tan²θ-1≥-1
注：你题目中的“向量PF1×向量PF2”如果真的是“×”号,那么就是求外积,PF1×PF2的结果是一个向量,没有取值范围的概念,所以这里认为你求的是内积：PF1·PF2
手工计算,错了轻拍~
易知,F1(-2,0),F2(2,0),可设点P(x,y).则(x²/3)-y²=1.且有(x²/3)-1=y²≥0.===>x²/3≥1===>4x²/3≥4.且y²=(x²/3)-1.同时,向量PF1=(-2-x,-y),向量PF2=(2-x,-y).∴W=PF1·PF2=（-2-x,-y)·(2-x,-y)=x&...
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易知,F1(-2,0),F2(2,0),可设点P(x,y).则(x²/3)-y²=1.且有(x²/3)-1=y²≥0.===>x²/3≥1===>4x²/3≥4.且y²=(x²/3)-1.同时,向量PF1=(-2-x,-y),向量PF2=(2-x,-y).∴W=PF1·PF2=（-2-x,-y)·(2-x,-y)=x²-4+y²=(4x²/3)-5.∵4x²/3≥4.===>(4x²/3)-5≥-1.即PF1·PF2≥-1.∴PF1·PF2∈[-1,+∞).
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