x y z三个非负数,求√[x/(y+z)]+√[y/(z+x)]+√[z/(x+y)] 的最小值.√ 是根号.解出来必有重谢.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 17:03:37
x y z三个非负数,求√[x/(y+z)]+√[y/(z+x)]+√[z/(x+y)] 的最小值.√ 是根号.解出来必有重谢.
x y z三个非负数,求√[x/(y+z)]+√[y/(z+x)]+√[z/(x+y)] 的最小值.
√ 是根号.
解出来必有重谢.
x y z三个非负数,求√[x/(y+z)]+√[y/(z+x)]+√[z/(x+y)] 的最小值.√ 是根号.解出来必有重谢.
楼上的证明方法肯定是错了,因为不可能证明“若x,y,z都不等于0,原式>=3√2/2”.事实上若x,y,z都不等于0,原式可以无限接近2
最小值确实是2,这种题最没有技术含量也最容易掌握的方法就是“局部调整”
设x>=y>=z
首先固定z和x+y,调整x-y的大小,希望证明当x=y时取得最小值
设x=t+s,y=t-s,其中t>=z,注意s的取值范围是[0,t-z]
此时原式成为s的一元函数,对s求导可知导函数在[0,t-z]上恒为非负,所以原式当s=0时取最小值
现在证明了原式的最小值一定在x=y>=z时取到,接下来固定x,调整z,z的取值范围是[0,x]
此时原式成为z的一元函数,对z求导可知存在w,0
晕，代1，1，0进去就等于2，比（3√2）/2小。。。
1、若x,y,z中有一个为0（两个不行），由均值不等式就可以得出原式>=2
2、若x,y,z都不等于0，原式>=9/（√(y+z)/x+√(z+x)/y+√（x+y）/z,分母再用平均值不等式处理就可以得>=3√2/2...
...所以最小是2
这题一看就知道这三个根式相等的时候，它们的和有最小值（仔细看看，xyz三个未知量的权力是等同的，没有哪一个具有特殊性）。那么只有当x=y=z时，三个根式的值相等，所以其和为（3√2）/2，此为最小值
问题转化为1/(a^2+1)+1/(b^2+1)+1/(1+c^2)=2, a,b,c非负，求a+b+c最小值。
这样就把变量分开了，还没根号，总有些好处。好求导，且求导之后好解。
最方便还是局部调整吧。楼上正解，就用他的吧。