如图甲,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：（1）如果AB=AC,∠BAC=90°,①当点D在线段BC上时（与点B不重合）,如图乙,线段CF、B
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 21:00:03
如图甲,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：（1）如果AB=AC,∠BAC=90°,①当点D在线段BC上时（与点B不重合）,如图乙,线段CF、B
如图甲,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：
（1）如果AB=AC,∠BAC=90°,
①当点D在线段BC上时（与点B不重合）,如图乙,线段CF、BD之间的位置关系为 ,数量关系为
．
②当点D在线段BC的延长线上时,如图丙,①中的结论是否仍然成立,为什么?
（2）如果AB≠AC,∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时,CF⊥BC（点C、F重合除外）?并说明理由．
大概这样
如图甲,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：（1）如果AB=AC,∠BAC=90°,①当点D在线段BC上时（与点B不重合）,如图乙,线段CF、B
（1）①CF⊥BD,CF=BD
②成立
证明：∵四边形ADEF是正方形
∴∠DAF=90°,AF=AD
∵∠BAC=90°
∴∠FAC=∠DAB
∵AB=AC
∴△ABD全等于△ACF
∴CF=BD ∠FCA=∠B
∵∠ABC=∠BCA=45°
∴∠FCA=45°
∴∠FCA+∠BCA=90°
∴CF⊥BD
（2）当△ABC满足∠ACB=45°时,CF⊥BC
我不会说理由 只能写这么多了
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（1）①CF与BD位置关系是垂直、数量关系是相等；（1分）
②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立（如图3）．
由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAF=∠BAC，
∴∠DAB=∠FAC，
又AB=AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，
∠ACF=∠ABD．
∵∠BA...
全部展开
（1）①CF与BD位置关系是垂直、数量关系是相等；（1分）
②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立（如图3）．
由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAF=∠BAC，
∴∠DAB=∠FAC，
又AB=AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，
∠ACF=∠ABD．
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，∴∠ACF=45°，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．（3分）
（2）①画出图形（如图4），判断：（1）中的结论不成立．
②画出图形（如图5），判断：（1）中的结论不成立．（4分）
（3）当∠BCA=45°时，CF⊥BD（如图6）．
理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，
∴AC=AG．
∵∠BCA=45°，
∴∠AGD=45°，
∴△GAD≌△CAF
∴∠ACF=∠AGD=45°．
∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°
即CF⊥BD．（5分）
（4）当具备∠BCA=45°时，
过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，（如图7），
∵DE与CF交于点P时，此时点D位于线段CQ上，
∵∠BCA=45°，AC=2 2 ，
∴由勾股定理可求得AQ=CQ=2．
设CD=x，∴DQ=2-x，
∵∠ADB+∠ADE+∠PDC=180°
且∠ADE=90°，
∴∠ADQ+∠PDC=90°，
又∵在直角△PCD中，∠PDC+∠DPC=90°
∴∠ADQ=∠DPC，
∵∠AQD=∠DCP=90°
∴△AQD∽△DCP，
∴CP DQ =CD AQ ，∴CP 2-x =x 2 ．
∴CP=-1 2 x2+x=-1 2 （x-1）2+1 2 ．（7分）
∵0＜x≤3 2 ，
∴当x=1时，CP有最大值1 2 ．（8分）
收起