如图23-32所示,△OAB,△OCD为等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90°（1）如图23-32,点C在OA边上,点D在OB边上,连接AD,BC,M为线段AD的中点,求证OM⊥BC（2）将△OCD绕点O逆时针旋转一定角度（如图23-33)M为线段AD
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 10:40:22
如图23-32所示,△OAB,△OCD为等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90°（1）如图23-32,点C在OA边上,点D在OB边上,连接AD,BC,M为线段AD的中点,求证OM⊥BC（2）将△OCD绕点O逆时针旋转一定角度（如图23-33)M为线段AD
如图23-32所示,△OAB,△OCD为等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90°
（1）如图23-32,点C在OA边上,点D在OB边上,连接AD,BC,M为线段AD的中点,求证OM⊥BC
（2）将△OCD绕点O逆时针旋转一定角度（如图23-33)M为线段AD的中点
①线段OM与线段BC是否存在某种确定的数量关系?写出并证明你的结论
②OM⊥BC是否仍然成立?若成立,请证明你的结论,若不成立,请说明理由
如图23-32所示,△OAB,△OCD为等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90°（1）如图23-32,点C在OA边上,点D在OB边上,连接AD,BC,M为线段AD的中点,求证OM⊥BC（2）将△OCD绕点O逆时针旋转一定角度（如图23-33)M为线段AD
（1）∵△OAB,△OCD为等腰直角三角形,∴OA=OB,OC=OD,∵∠AOB=∠COD=90°,∴△OAD≌△OBC,∠OAD=∠OBC；∵M为线段AD的中点,∴MD=MO=MA,∠OAD=∠MOA=∠OBC,设MO交BC于E点,∵∠OCD是△EOC和△BOC的共用角,∴△EOC∽△BOC,∠OEC=∠BOC=90°,OM⊥BC；
（2）设旋转角为α,OA=OB=a,OD=OC=b；由余弦定理得：AD²=a²+b²-2abcos(π/2+a)=a²+b²+2absinα,BC²=a²+b²-2abcos(π/2-a)=a²+b²-2absinα,两式相加得：AD²+BC²=2a²+2b²；OM是△AOD在AD边上的中线,由余弦定理得：a²=AD²/4+OM²-AD*OMcos∠AMO,b²=AD²/4+OM²-AD*OMcos(π-∠AMO),两式相加得：a²+b²=AD²/2+2OM²；代入得：AD²+BC²=AD²+4OM²,则BC=2OM；
（3）在△OBC中,由余弦定理得：b²=4OM²+a²-4aOMcos∠OBC,cos∠OBC=(4OM²+a²-b²)/4aOM；在△AOM中,由余弦定理得：AD²/4=OM²+a²-2aOMcos∠AOM,整理得：cos∠AOM=(4OM²+a²-b²)/4aOM；则cos∠OBC=cos∠AOM,∠OBC=∠AOM,OM⊥BC成立.
（1）∠PCD=∠PDC
理由如下：
因为P点是∠AOB平分线上一点（已知）
所以)∠COP=∠BOP（角平分线定义）
因为PC⊥OA,PD⊥OB（已知）
所以∠OCP=90°，∠OBP=90°（垂直定义）
所以∠OCP=∠OBP（等量代换）
因为OP=PO（公共边）
所以△OBP≌△OCP（A.A.S）
所以∠PCD=∠PD...
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（1）∠PCD=∠PDC
理由如下：
因为P点是∠AOB平分线上一点（已知）
所以)∠COP=∠BOP（角平分线定义）
因为PC⊥OA,PD⊥OB（已知）
所以∠OCP=90°，∠OBP=90°（垂直定义）
所以∠OCP=∠OBP（等量代换）
因为OP=PO（公共边）
所以△OBP≌△OCP（A.A.S）
所以∠PCD=∠PDC（全等三角形的对应角相等）
（2）OP是CD的垂直平分线
理由如下：
因为∠PCD=∠PDC（已求）
且∠OCP=∠OBP（已求）
所以∠OCP-∠PCD=∠OBP-∠PDC（等式性质）
即∠OCD=∠ODC
所以OC=OD（等角对等边）
所以OP是CD的垂直平分线（等腰三角形的三线合一）
收起
②成立 延长AO至F，使OF=OB，则OM平行DF，△BCO≌△FOD，即可得证