内拿破仑三角形如何证明
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 15:28:45
内拿破仑三角形如何证明
内拿破仑三角形如何证明
内拿破仑三角形如何证明
证明： 如图,分别以△ABC的边BC、AC、AB为等边三角形边长,向△ABC外作等边三角形（△BCC'、△ACA'、△ABB'）,设这三个三角形的中心分别为D,E,F, 则：∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30° 以点A为圆心,以AF长为半径作弧；以点E为圆心,以DC长为半径作弧.设两弧在多边形AFBDCE内交于点G.则AG=AF,GE=DC. 连接GF、GA、GE,DE、DF、EF. ∵△ABF、△BCD、△ACE都是底角为30°的等腰三角形（即∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°） ∴△ABF∽△BCD∽△ACE, ∴AF/AB = AE/AC = DC/BC 又∵AG=AF,GE=DC ∴AG/AB = AE/AC = GE/BC ∴△AGE∽△ABC ∴∠GAE=∠BAC ∴∠FAG = ∠EAF-∠GAE = ∠EAF-∠BAC = ∠FAB+∠EAC = 60° 又∵AG=AF ∴△AGF为等边三角形 ∴AG=AF,∠AGF=60° ∵△AGE∽△ABC ∴∠AGE=∠ABC 又∵∠FBD = ∠ABC+∠FBA+∠DBC = ∠ABC+60° ∠FGE = ∠AGE+∠AGF = ∠AGE+60° ∴∠FBD=∠FGE ∵在△FBD和△FGE中, FB=FG,∠FBD=∠FGE,BD=GE ∴△FBD≌△FGE(SAS) ∴FD=FE 同理,FD=DE ∵FD=DE=FE ∴△DEF为等边三角形 即“外拿破仑三角形”是等边三角形.（在任意一个三角形的三条边上分别向外做出三个等边三角形,则这三个等边三角形的中心也构成一个等边三角形）
