甲沿圆形跑道跑,已知跑第一圈用1分钟,第二圈用3分钟,第三圈用5分钟.即每跑一圈将比前一圈多花2分钟.乙在甲跑了N分钟(N为奇数)后才开始从起点与甲同方向跑,已知乙开始跑时,甲不在起点上.

甲沿圆形跑道跑,已知跑第一圈用1分钟,第二圈用3分钟,第三圈用5分钟.即每跑一圈将比前一圈多花2分钟.乙在甲跑了N分钟(N为奇数)后才开始从起点与甲同方向跑,已知乙开始跑时,甲不在起点上.
甲沿圆形跑道跑,已知跑第一圈用1分钟,第二圈用3分钟,第三圈用5分钟.即每跑一圈将比前一圈多花2分钟.
乙在甲跑了N分钟(N为奇数)后才开始从起点与甲同方向跑,已知乙开始跑时,甲不在起点上.乙跑步所花的时间与甲一样,跑第一圈用1分钟,第二圈用3分钟,第三圈用5分钟.即每跑一圈将比前一圈多花2分钟.
请问:能从以上条件,求出所有乙和甲同时在起点的时间(或此时他们跑完的整圈数)吗?
注:(1)题目是肯定至少有一个解的,因为甲乙跑的速度都越来越慢,当甲跑到某一圈刚好需要花N分钟时,此时甲刚好领先乙一圈,两人均在起点上面;
(2)解肯定是有限的.因为在上面情况(1)之后,甲跑任何一圈花的时间都将大于N分钟,乙落后甲N分钟,即不足一圈,双方再也不可能同时都在起点上.
(3)我想问的,就是如何通过以上条件,判定是否只有唯一解?如果不是唯一解,其他解如何求?

甲沿圆形跑道跑,已知跑第一圈用1分钟,第二圈用3分钟,第三圈用5分钟.即每跑一圈将比前一圈多花2分钟.乙在甲跑了N分钟(N为奇数)后才开始从起点与甲同方向跑,已知乙开始跑时,甲不在起点上.
首先,我对你的“注”做一下评价：
1.在题目的条件下一定有解
2.解是有限的,而且其个数和N的因子个数有关.确切的说解的个数等于N因子中小于根号N的个数.
3.从2中说明可以看出当且仅当N是素数（质数）或素数的平方时题目有唯一解.假设N因子中小于根号N的因子依次为c1,c2,...,ck,甲跑完a圈时乙恰好跑完b圈,则原题的k个解为：
a = (ci+N/ci)/2,b = (-ci+N/ci)/2,1≤i≤k.
下面是详细的解题过程：
设甲跑完a圈时乙恰好跑完b圈,则此时甲花的时间为
1+3+...+(2a-1) = a^2,(这个等式见【注】)
乙花的时间为
1+3+...(2b-1) = b^2.
根据题意,有
a^2 - b^2 = N
从而
(a+b)*(a-b) = N
因此,a+b与a-b都是N的因子,记a-b=c,我们有
a+b = N/c
从而可得：
a = (c+N/c)/2
b = (-c+N/c)/2
注意到 c^2 = (a-b)^2

他们跑完第m圈到达起点的总用时是
1+3+5+....+(2m-1)=(1+2m-1)*m/2=m^2
设 乙开始跑的时候，甲还差z分钟到达起点。
假设 在甲跑完x圈，乙也跑完y圈，刚好和甲同时到达起点，那么
甲的总用时是 x^2
乙的总用时是 y^2
根据题意有
x^2-N=y^2
即 N=x^2-y^2=(x+y)*(x-y)<...

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他们跑完第m圈到达起点的总用时是
1+3+5+....+(2m-1)=(1+2m-1)*m/2=m^2
设 乙开始跑的时候，甲还差z分钟到达起点。
假设 在甲跑完x圈，乙也跑完y圈，刚好和甲同时到达起点，那么
甲的总用时是 x^2
乙的总用时是 y^2
根据题意有
x^2-N=y^2
即 N=x^2-y^2=(x+y)*(x-y)
N是奇数，所以肯定至少会有一解 ， 当 x-y=1时，x+y=N
x=(N+1)/2
y=(N-1)/2
x,y在N是奇数时，都是整数，所以至少会有这么一组解。
根据 N=x^2-y^2=(x+y)*(x-y)
如果N是质数，那么解是唯一的
如果N是合数，且N是完全平方数，那么说明在乙开始跑之前，通过总用的公式我们能知道甲正好在起点，与题意不符，所以N不可能是完全平方数。
如果N是合数，且不是完全平方数，那么会有多组解。解的个数和具体的解，取决于对N的分解质因数后与 (x+y)(x-y)的配对情况。 这样，因为N不是完全平方数，所以它的因数肯定是偶数个，解的个数就是它的因数的个数的一半，假N有k个因数，那么就会有k/2组解。

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(1)由题设可知,如果甲(乙)跑了k圈,则所用时间为
1+3+…+2k-1= k^2
即甲(乙)跑的分钟数是一个平方数时,则他们在起点上,乙和甲同时在起点时,则甲和乙跑的分钟数均是一个平方数.
如果乙和甲同时在起点,设甲跑的时间为m^2分钟,乙跑的时间k^2分钟,则
N+ k^2=m^2
(m+n)(m-n)=N
由N为奇数,设m+n=N, m-n=...

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(1)由题设可知,如果甲(乙)跑了k圈,则所用时间为
1+3+…+2k-1= k^2
即甲(乙)跑的分钟数是一个平方数时,则他们在起点上,乙和甲同时在起点时,则甲和乙跑的分钟数均是一个平方数.
如果乙和甲同时在起点,设甲跑的时间为m^2分钟,乙跑的时间k^2分钟,则
N+ k^2=m^2
(m+n)(m-n)=N
由N为奇数,设m+n=N, m-n=1,则解得
m=(N+1)/2,n=(N-1)/2
甲跑的时间为(N+1)^2/4,乙跑的时间(N-1)^2/4,乙和甲同时在起点,故题目是肯定至少有一个解.
(2) 如果N是奇素数,则只能有上述一个解,否则由乙开始跑时,甲不在起点上,故N不是平方数,设N=pq,p>q,其中p,q 为奇数,m+n=p, m-n=q,则解得
m=(p+q)/2,n=(p-q)/2
甲跑的时间为(p+q)^2/4,乙跑的时间(p-q)^2/4,乙和甲同时在起点上.
N是奇素数有上述一个解, 否则N的任意一个奇数分解N=pq均对应一个解.

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