已知：如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为点E.⑴试说明：四边形ADCE为矩形；⑵当△ABC满足什么条件时,四边形ADCE是一个正方形?并给出证明.

已知：如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为点E.⑴试说明：四边形ADCE为矩形；⑵当△ABC满足什么条件时,四边形ADCE是一个正方形?并给出证明.
已知：如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为点E.
⑴试说明：四边形ADCE为矩形；
⑵当△ABC满足什么条件时,四边形ADCE是一个正方形?并给出证明.

已知：如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为点E.⑴试说明：四边形ADCE为矩形；⑵当△ABC满足什么条件时,四边形ADCE是一个正方形?并给出证明.
1.
因为 AB=AC
所以 角B=角ACB
因为 角CAM=角B+角ACB
所以 角CAM=2角B
因为 AN平分角CAM
所以 角MAE=角EAC=角B
所以 AN//BC
因为 AD垂直BC
所以 AD垂直AN
因为 CE垂直AN
所以 AD//CE
因为 AN//BC
所以 四边形ADCE是平行四边形
因为 AD垂直BC
所以 角ADC=90度
因为 四边形ADCE是平行四边形
所以 四边形ADCE为矩形
2.
因为 四边形ADCE为矩形
所以 当AD=DC时,四边形ADCE是一个正方形
因为 AD垂直BC
所以 角ADB=角ADC=90度
因为 AB=AC,AD=AD
所以 三角形ADB全等于三角形ADC
所以 BD=DC
因为 当AD=DC时,四边形ADCE是一个正方形
所以 当AD=1/2BC时,四边形ADCE是一个正方形

（1）证明：∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE=∠CAE．
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=1 2 ×180°=90°，
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC=∠CEA=90°，
∴四边形ADCE为矩形．
（2）证明：∵四边形ADCE是正方形，

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（1）证明：∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE=∠CAE．
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=1 2 ×180°=90°，
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC=∠CEA=90°，
∴四边形ADCE为矩形．
（2）证明：∵四边形ADCE是正方形，
∴DC=AD，
∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
∴△ADC为等腰直角三角形，
∴∠DAC=∠ACD=45°，
∴∠BAC=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
即△ABC的形状是等腰直角三角形．

收起

∠BAC=180-（∠ABC+∠C）=180-4∠C
∠1=∠BAC/2=90-2∠C
∠ABE=90-∠1=2∠C
延长BE交AC于F
因为，∠1 =∠2，BE⊥AE
所以，△ABF是等腰三角形
AB=AF,BF=2BE
∠FBC=∠ABC-∠ABE=3∠C-2∠C=∠C
BF=CF
AC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE

好难

因为在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，，CE⊥AN，垂足为点E。
AB=AC 所以AD平分角ABC
AN是△ABC外角∠CAM的平分线
所以角DAN=90
AD⊥BC
所以ADCE为矩形
如果ADCE为正方形
AD=DC
所以三角形ABC中要满足 高为底边的一半 才能使为正方形

（1）由题意可知△ABC为等腰三角形，且∠B＝∠C，则可得
　　　　　　　∠CAM＝∠B＋∠ACB＝2∠B＝2∠ACB
因为AN是△ABC外角∠CAM的平分线，所以∠CAM＝∠CAN＋∠NAM＝2∠CAN＝2∠NAM
综合上面2个等式可知：∠CAM＝2∠B＝2∠ACB＝2∠CAN＝2∠NAM
即：∠ACB＝∠CAN（内错角相等）可知AN平行于BC且∠CEA、∠ADC...

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（1）由题意可知△ABC为等腰三角形，且∠B＝∠C，则可得
　　　　　　　∠CAM＝∠B＋∠ACB＝2∠B＝2∠ACB
因为AN是△ABC外角∠CAM的平分线，所以∠CAM＝∠CAN＋∠NAM＝2∠CAN＝2∠NAM
综合上面2个等式可知：∠CAM＝2∠B＝2∠ACB＝2∠CAN＝2∠NAM
即：∠ACB＝∠CAN（内错角相等）可知AN平行于BC且∠CEA、∠ADC都是直角
可得到四边形ADCE为矩形。
（2）四边形ADCE是一个正方形→AD＝CD＝BD，且△ACD为等腰直角三角形，又△ABC为等腰三角形　
综合上面3条可知，当∠CAB为直角时，四边形ADCE是一个正方形。
证明过程倒过来即可

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1.证明：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE=1 2 ∠MAC，
∵∠MAC=∠B+∠ACB，
∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，
∴∠MAE=∠B，∴AN∥BC，
∵AB=AC，点D为BC中点，∴AD⊥BC，
∵CE⊥AN，∴AD∥CE，
∴四边形ADCE为平行四边形（有两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∵CE⊥AN，∴...

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1.证明：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE=1 2 ∠MAC，
∵∠MAC=∠B+∠ACB，
∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，
∴∠MAE=∠B，∴AN∥BC，
∵AB=AC，点D为BC中点，∴AD⊥BC，
∵CE⊥AN，∴AD∥CE，
∴四边形ADCE为平行四边形（有两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∵CE⊥AN，∴∠AEC=90°，
∴四边形ADCE为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
2.当AD=1 2 BC时，当∠BAC=90°时，当∠BCA=45°时，四边形ADCE均为正方形．

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