求∫arcsin（2√x/（1+x））dx

求∫arcsin（2√x/（1+x））dx
求∫arcsin（2√x/（1+x））dx

求∫arcsin（2√x/（1+x））dx
鈭珄arcsin( 2鈭?x/(1+x)) )}{dx}


2鈭?x/(1+x))
= 2鈭?(1+x -1)/(1+x))
= 2鈭?1 - 1/(1+x))


nbsp;鏍瑰彿涓?nbsp;>= 0
鈭滁/p>
1 - 1/(1+x) >= 0
<=> 1 >= 1/(1+x)
x > -1, <=> 1+x >= 1 <=> x >= 0
x < -1, <=> 1+x <= 1 <=> x <= 0
x 鈭?nbsp;(-鈭?-1)鈭猍0,+鈭?


nbsp;鈭?nbsp;arcsinx 鐨勫畾涔夊煙涓?nbsp;[-1,1]
鈭滁/p>
2鈭?1 - 1/(1+x)) 鈭?nbsp;[0,1]
<=> 鈭?1 - 1/(1+x)) 鈭?nbsp;[0,1/2]
<=> 1 - 1/(1+x) <= 1/4
<=> 3/4 <= 1/(1+x)
<=> x <= 1/3 涓?nbsp;x > -1


缁间笂寰?nbsp;x 鈭?nbsp;[0,1/3]


nbsp;2鈭?x/(1+x)) = t
<=> 2鈭?1 - 1/(1+x)) = t
<=> 1/(1+x) = 1 - (t^2)/4
<=> x = 1/(1 - (t^2)/4) - 1
    = 4/(4 - t^2) - 1
    = (t^2)/(4 - t^2)
( t 鈭?nbsp;[0,1] )


浠ｅ叆
鈭珄arcsin( 2鈭?x/(1+x)) )}{dx}
= 鈭珄arcsint}{d (t^2)/(4 - t^2)}
= (t^2)/(4 - t^2) * arcsint - 鈭珄(t^2)/(4 - t^2)}{d arcsint}
= (t^2)/(4 - t^2) * arcsint - 鈭珄(t^2)/(4 - t^2) * 1/鈭?1 - t^2)}{dt}


nbsp;t = sink
<=> k = arcsint
( k 鈭?nbsp;[0,蟺/2] )


浠ｅ叆
鈭珄(t^2)/(4 - t^2) * 1/鈭?1 - t^2)}{dt}
= 鈭珄(sink)^2/(4 - (sink)^2) * 1/鈭?1 - (sink)^2)}{d sink}
= 鈭珄(sink)^2/(3 + (cosk)^2) * 1/cosk * cosk}{dk}
= 鈭珄(sink)^2/(3 + (cosk)^2)}{dk}
= 鈭珄(1 - (cosk)^2)/(3 + (cosk)^2)}{dk}
= -鈭珄((cosk)^2 + 3 - 4)/((cosk)^2 + 3)}{dk}
= -鈭珄1 - 4/((cosk)^2 + 3)}{dk}
= -(鈭珄1}{dk} - 4鈭珄1/((cosk)^2 + 3)}{dk})
= -k + 4鈭珄1/((cosk)^2 + 3)}{dk}
= -k + 8鈭珄1/(7 + cos2k)}{dk}   


( PS: 鈭?nbsp;cos2k = 1 - 2(sink)^2 = 2(cosk)^2 - 1,nbsp;鏈?nbsp;(sink)^2 = (1 - cos2k)/2,(cosk)^2 = (1 + cos2k)/2 )
= -k + 4鈭珄1/(7 + cos2k)}{d 2k}
= -k + 4 * ( (鈭?)/6 * arctan( (鈭?)/2 * tank) ) + C   


(PS: 鈭?nbsp;鈭珄1/(a + bcosx)}{dx} = 2/(a+b) * 鈭?(a+b)/(a-b)) * arctan(鈭?(a-b)/(a+b)) * tan(x/2)) + C )
= -k + (2鈭?)/3 * arctan( (鈭?)/2 * tank) + C


鏇挎崲鍥?nbsp;t:
鈭珄(t^2)/(4 - t^2) * 1/鈭?1 - t^2)}{dt}
= -k + (2鈭?)/3 * arctan( (鈭?)/2 * tank) + C
= -arcsint + (2鈭?)/3 * arctan( (鈭?)/2 * tan(arcsint)) + C


鍒橖/p>
鈭珄arcsin( 2鈭?x/(1+x)) )}{dx}
= (t^2)/(4 - t^2) * arcsint - 鈭珄(t^2)/(4 - t^2) * 1/鈭?1 - t^2)}{dt}
= (t^2)/(4 - t^2) * arcsint - (-arcsint + (2鈭?)/3 * arctan( (鈭?)/2 * tan(arcsint)) + C)
= (t^2)/(4 - t^2) * arcsint + arcsint - (2鈭?)/3 * arctan( (鈭?)/2 * tan(arcsint)) + C1
= ((t^2)/(4 - t^2) + 1) * arcsint - (2鈭?)/3 * arctan( (鈭?)/2 * tan(arcsint)) + C1
= 4/(4 - t^2) * arcsint - (2鈭?)/3 * arctan( (鈭?)/2 * tan(arcsint)) + C1


鏇挎崲鍥?nbsp;x:
鈭珄arcsin( 2鈭?x/(1+x)) )}{dx}
= 4/(4 - t^2) * arcsint - (2鈭?)/3 * arctan( (鈭?)/2 * tan(arcsint)) + C1
= 4/(4 - (2鈭?x/(1+x)))^2) * arcsin(2鈭?x/(1+x))) - (2鈭?)/3 * arctan( (鈭?)/2 * tan(arcsin( 2鈭?x/(1+x)) )) ) + C1
= (1+x) * arcsin(2鈭?x/(1+x))) - (2鈭?)/3 * arctan( (鈭?)/2 * tan(arcsin( 2鈭?x/(1+x)) )) ) + C1
(PS:鈭 arcsinx = arctan( x/鈭?1-x^2) ),
        鈭 arcsin( 2鈭?x/(1+x)) ) = arctan( 2鈭?x/(1-3x)) )

        鈭 tan(arcsin( 2鈭?x/(1+x)) )) = tan(arctan( 2鈭?x/(1-3x)) )) = 2鈭?x/(1-3x))

)
= (1+x) * arctan( 2鈭?x/(1-3x)) ) - (2鈭?)/3 * arctan( (鈭?)/2 * 2鈭?x/(1-3x)) ) + C1
= (1+x) * arctan( 2鈭?x/(1-3x)) ) - (2鈭?)/3 * arctan( 3x/(1-3x)) ) + C1


鍗颤/p>
鈭珄arcsin( 2鈭?x/(1+x)) )}{dx}
= (1+x) * arctan( 2鈭?x/(1-3x)) ) - (2鈭?)/3 * arctan( 3x/(1-3x)) ) + C1
( 鈭 1-3x 鈮 0,鈭 x 鈮 1/3,鈭 x 鈭?nbsp;[0,1/3) )