y=2sinX+cosX的值域为?（答案是【-根号5,根号5】为什么?）

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/11/15 17:33:21

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y=2sinX+cosX的值域为?（答案是【-根号5,根号5】为什么?）
y=2sinX+cosX
y=√5[(2√5/5)sinX+(√5/5)cosX]
设存在角度a,且sina=√5/5；cosa=2√5/5
角a满足sin²a+cos²a=1
所以：
y=√5(sinXcosa+cosXsina)
=√5sin(X+a)
因为-1≤sin(X+a)≤1
所以：-√5≤y≤√5
y=2sinX+cosX的值域为y∈【-根号5,根号5】

y=2sinx+cosx
=√5[sinx*(2/√5)+cosx*(1/√5)]
sinu=1/√5,cosu=2/√5
=√5sin(x+u)
-1<=sin(x+u)<=1
-√5<= y<=√5

令cost = 2/√(2^2+1^)^2 = 2/√5，sint = 1/√(2^2+1^)^2 = 1/√5
y = 2sinX+cosX = √5(sinxcost+cosxsint) = √5sin(x+t)
-1≤√sin(x+t)≤1
-√5≤√5sin(x+t)≤√5
值域【-√5，√5】

=根号5*(2sinx/(根号5)+cosx/(根号5)）
令2/根号5＝cosa，a＝[0,PI/2]，则sina＝1/根号5;
y＝根号5*sin（x+a），a＝[0,PI/2]
所以y值域为【-根号5，根号5】