请问“球面两点最短距离是过这两点的大圆（半径等于球体的半径）的劣弧”怎么证明?证发多多益善!

请问“球面两点最短距离是过这两点的大圆（半径等于球体的半径）的劣弧”怎么证明?证发多多益善!
请问“球面两点最短距离是过这两点的大圆（半径等于球体的半径）的劣弧”怎么证明?
证发多多益善!

请问“球面两点最短距离是过这两点的大圆（半径等于球体的半径）的劣弧”怎么证明?证发多多益善!
首先,连接两点有一弦,在球面上,自然是圆弧最短,我们不考虑走诡异路线的连线；因为弦是一样的,你可以推算出在同样的弦上,半径最大,所过的弧长最短,可以证明（根据圆心角和半径以及弦长的关系）
证明：过在一个平面上的任意两点,可以作无数圆.利用平面几何的知识,可以很容易得出以下推论－在这些得到的圆中,如果半径越大,这两点所夹的圆弧长度就越短；对于以这两点间距离为直径的圆,这两点所夹的圆弧长度达到最大.
过球面上任意两点的圆弧都是在某个过这两点的平面与该球切割出的圆上.在所有的可能存在的圆中,过这两点且过球心的那个平面所能切割出的圆有最大的半径（即球的半径）,根据上面的推论,该平面所切的圆弧长度最短.
过在一个平面上的任意两点,可以作无数圆.利用平面几何的知识,可以很容易得出以下推论－在这些得到的圆中,如果半径越大,这两点所夹的圆弧长度就越短；对于以这两点间距离为直径的圆,这两点所夹的圆弧长度达到最大.

这涉及微分几何学中测地线的概念。
先求出球面的第一、第二基本形式，再代入有关测地线的Liouville方程。
或者用到变分法里的有关知识：首先写出球面上两点之间的距离（当然是在这个球面上的“距离”）s，表示为一条球面上的曲线s=s(φ,θ，c),φ,θ分别是球坐标系的经度和纬度，参数c决定了一个曲线族，对其应用拉格朗日方程，即可证明当且仅当这曲线是球面上的大圆时，两点之间距离最短。...

全部展开

这涉及微分几何学中测地线的概念。
先求出球面的第一、第二基本形式，再代入有关测地线的Liouville方程。
或者用到变分法里的有关知识：首先写出球面上两点之间的距离（当然是在这个球面上的“距离”）s，表示为一条球面上的曲线s=s(φ,θ，c),φ,θ分别是球坐标系的经度和纬度，参数c决定了一个曲线族，对其应用拉格朗日方程，即可证明当且仅当这曲线是球面上的大圆时，两点之间距离最短。

收起

首先，连接两点有一弦，在球面上，自然是圆弧最短，我们不考虑走诡异路线的连线；因为弦是一样的，你可以推算出在同样的弦上，半径最大，所过的弧长最短，可以证明（根据圆心角和半径以及弦长的关系）
证明：过在一个平面上的任意两点，可以作无数圆。利用平面几何的知识，可以很容易得出以下推论－在这些得到的圆中，如果半径越大，这两点所夹的圆弧长度就越短；对于以这两点间距离为直径的圆，这两点所夹的圆弧长度达到...

全部展开

首先，连接两点有一弦，在球面上，自然是圆弧最短，我们不考虑走诡异路线的连线；因为弦是一样的，你可以推算出在同样的弦上，半径最大，所过的弧长最短，可以证明（根据圆心角和半径以及弦长的关系）
证明：过在一个平面上的任意两点，可以作无数圆。利用平面几何的知识，可以很容易得出以下推论－在这些得到的圆中，如果半径越大，这两点所夹的圆弧长度就越短；对于以这两点间距离为直径的圆，这两点所夹的圆弧长度达到最大。
过球面上任意两点的圆弧都是在某个过这两点的平面与该球切割出的圆上。在所有的可能存在的圆中，过这两点且过球心的那个平面所能切割出的圆有最大的半径（即球的半径），根据上面的推论，该平面所切的圆弧长度最短。

收起

数学归纳法最简单...
你假设唯一存在球面两点最短距离不是过这两点的大圆的劣弧,可以得出并不唯一存在这样的劣弧,这两点间的球面距离除了大圆的劣弧都是对称的,不是唯一的.
最短距离应该是唯一存在的....所以很简单就能证明

数学归纳法最简单...
你假设唯一存在球面两点最短距离不是过这两点的大圆的劣弧,可以得出并不唯一存在这样的劣弧,这两点间的球面距离除了大圆的劣弧都是对称的,不是唯一的.
最短距离应该是唯一首先，连接两点有一弦，在球面上，自然是圆弧最短，我们不考虑走诡异路线的连线；因为弦是一样的，你可以推算出在同样的弦上，半径最大，所过的弧长最短，可以证明（根据圆心角和半径以及弦长的关系）

全部展开

数学归纳法最简单...
你假设唯一存在球面两点最短距离不是过这两点的大圆的劣弧,可以得出并不唯一存在这样的劣弧,这两点间的球面距离除了大圆的劣弧都是对称的,不是唯一的.
最短距离应该是唯一首先，连接两点有一弦，在球面上，自然是圆弧最短，我们不考虑走诡异路线的连线；因为弦是一样的，你可以推算出在同样的弦上，半径最大，所过的弧长最短，可以证明（根据圆心角和半径以及弦长的关系）
证明：过在一个平面上的任意两点，可以作无数圆。利用平面几何的知识，可以很容易得出以下推论－在这些得到的圆中，如果半径越大，这两点所夹的圆弧长度就越短；对于以这两点间距离为直径的圆，这两点所夹的圆弧长度达到最大。
过球面上任意两点的圆弧都是在某个过这两点的平面与该球切割出的圆上。在所有的可能存在的圆中，过这两点且过球心的那个平面所能切割出的圆有最大的半径（即球的半径），根据上面的推论，该平面所切的圆弧长度最短存在的....所以很简单就能证明这涉及微分几何学中测地线的概念。
先求出球面的第一、第二基本形式，再代入有关测地线的Liouville方程。
或者用到变分法里的有关知识：首先写出球面上两点之间的距离（当然是在这个球面上的“距离”）s，表示为一条球面上的曲线s=s(φ,θ，c),φ,θ分别是球坐标系的经度和纬度，参数c决定了一个曲线族，对其应用拉格朗日方程，即可证明当且仅当这曲线是球面上的大圆时，两点之间距离最短。因为过这两点的大圆（半径等于球体的半径）的劣弧就是两点间的线段
且两点间线段最短
所以面两点最短距离是过这两点的大圆（半径等于球体的半径）的劣弧

收起

因为劣弧比优弧短 完了

因为过这两点的大圆（半径等于球体的半径）的劣弧就是两点间的线段
且两点间线段最短
所以面两点最短距离是过这两点的大圆（半径等于球体的半径）的劣弧