证明一个求和公式 请详细点哦1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/61^2+2^2+3^2+......+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 证明它 怎么从左边推到右边

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 10:11:34
证明一个求和公式请详细点哦1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/61^2+2^2+3^2+......+n^2=n(n+1)(2n+1)/6证明它怎么从左边推到右边证明一个求和

证明一个求和公式 请详细点哦1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/61^2+2^2+3^2+......+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 证明它 怎么从左边推到右边
证明一个求和公式 请详细点哦1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^2+2^2+3^2+......+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
证明它 怎么从左边推到右边

证明一个求和公式 请详细点哦1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/61^2+2^2+3^2+......+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 证明它 怎么从左边推到右边
数学归纳法可以证
也可以如下做 比较有技巧性
n^2=n(n+1)-n
1^2+2^2+3^2+.+n^2
=1*2-1+2*3-2+.+n(n+1)-n
=1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n)
由于n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3
所以1*2+2*3+...+n(n+1)
=[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+.+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3
[前后消项]
=[n(n+1)(n+2)]/3
所以1^2+2^2+3^2+.+n^2
=[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2
=n(n+1)[(n+2)/3-1/2]
=n(n+1)[(2n+1)/6]
=n(n+1)(2n+1)/6

利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*...

全部展开

利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
另外一个很好玩的做法
想像一个有圆圈构成的正三角形，
第一行1个圈，圈内的数字为1
第二行2个圈，圈内的数字都为2，
以此类推
第n行n个圈，圈内的数字都为n，
我们要求的平方和，就转化为了求这个三角形所有圈内数字的和。设这个数为r
下面将这个三角形顺时针旋转60度，得到第二个三角形
再将第二个三角形顺时针旋转60度，得到第三个三角形
然后，将这三个三角形对应的圆圈内的数字相加，
我们神奇的发现所有圈内的数字都变成了2n+1
而总共有几个圈呢，这是一个简单的等差数列求和
1+2+……+n=n(n+1)/2
于是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)
r=n(n+1)(2n+1)/6

收起

用数学归纳法来做啊1^2+2^2+3^2+......+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

证明一个求和公式 请详细点哦1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/61^2+2^2+3^2+......+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 证明它 怎么从左边推到右边 一个数列的求和公式是等差数列的求和公式,如何证明这是等差数列,(所证明的数列是无穷数列)即一个数列的求和公式为Sn=[n(A1+An)]/2,如何证明它是等差数列啊 如何证明：1平方+2平方+3平方+……+n平方=n(n+1)(2n+1)/6 请给出详细证明!（另外,请不要用 数学归纳法和待定系数法来求证）因为我想知道人们最初是怎么把这个求和公式的结果推导出来的. 1/n（n+2）求和,求通项求和公式 怎么证明1^2+2^2+3^2+……+n^2的求和公式 证明 求和公式1/(n!(2+n))=1n 从0到无穷 等差数列的快速求和公式怎样证明?等差数列的快速求和公式S=(a1+an)*n/2 1+2+3+.+2004的求和公式 两个求和公式证明上面两个求公式 .第一个的结果是S＝2 第二个的结果是S=4/3 1.数列的分组求和 通项公式为：an=n+2^n 2.数列的拆项求和 通项公式为：an=1/[n(n+1)]谢谢,亲们!请快点哦 Fibonacci数列平方求和公式的证明.求详细证明.谢谢. 求一个SUMIF求和公式这个是表1,我想在利用表2的数据,在表一处求和 但是这个条件,我实在用不会,请大家帮我下 利用等差数列求和公式Sn=n(a1+an)/2证明Sn=na1+n(n-1)/2*d 如何在EXCEL中对一列数据中的负数求和（有正有负,要求公式求和,不用手工一个个挑选）如题.譬如：1,-2,-3,4,5,6,-7...要求创建一个公式,求和的话结果是把-2、-3、-7加起来.请高手不吝赐教啊~ 数列1,2,3,1,2,3...的求和公式要有过程且是一个整式 两道数列题目,请帮忙解答,是在没有财富,唯一能做的就是第一时间确认,谢谢了!1,1/2!,2/3!,3/4!…………求通向公式和求和（过程最好详细点,有答案,但是看不懂）2,数列{an}中,an>0,前n项和Sn=1/2（a 编写程序：根据公式：1-2+3-4+5…+n;输入一个正整数,根据公式求和sum 求证：等比数列求和公式怎样证明等比数列求和公式?急用!