已知正项数列{an}满足a1=a(0<a<1=,且an+1≤an/1+an.求证 an≤a/1+(n-1)a

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/24 08:55:34
已知正项数列{an}满足a1=a(0<a<1=,且an+1≤an/1+an.求证an≤a/1+(n-1)a已知正项数列{an}满足a1=a(0<a<1=,且an+1≤an/1+an.求证an≤a/1+

已知正项数列{an}满足a1=a(0<a<1=,且an+1≤an/1+an.求证 an≤a/1+(n-1)a
已知正项数列{an}满足a1=a(0<a<1=,且an+1≤an/1+an.
求证 an≤a/1+(n-1)a

已知正项数列{an}满足a1=a(0<a<1=,且an+1≤an/1+an.求证 an≤a/1+(n-1)a
an是正数
所以0=1
所以
1/an-1/a(n-1)>=1
1/a(n-1)-1/a(n-2)>=1
……
1/a2-1/a1>=1
相加
1/an-1/a1>=1*(n-1)
a1=a
所以1/an>=1/a+(n-1)=[1+a(n-1)]/a
an>0
所以a

多少是有点难度的,其实

1:设0y-y'=x/(x+1) - x'/(x'+1)
= [x(x'+1)-x'(x1)]/(x+1)(x'+1)
= (x-x')/(x+1)(x'+1),
因为x-x'>0, 所以y-y'>0,
所以函数y=x/x+1 在x>0上是增函数;
2:
明显有anan+1≤an/1+an ≤ an...

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1:设0y-y'=x/(x+1) - x'/(x'+1)
= [x(x'+1)-x'(x1)]/(x+1)(x'+1)
= (x-x')/(x+1)(x'+1),
因为x-x'>0, 所以y-y'>0,
所以函数y=x/x+1 在x>0上是增函数;
2:
明显有anan+1≤an/1+an ≤ an-1/(1+an-1)(1+an) ≤ ... ≤ a1 / (1+a1)(1+a2)..(1+an) ≤ a1/(1+a1)^n-1 ≤ a/1+(n-1)a;

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解:
a(n+1)<=an/(1+an)
倒数得
1/an+1<=1/an +1
1/an+1-1/an<=1
当取等号时
(1/an}是等差数列,1/a1=1/a,d=1
1/an=1/a+(n-1)*1
an<=a/[(n-1)a+1]

注:小写字母表示下标。
由已知 An+1≤An/(1+An) 且{An}为正项数列
所以 对不等式两边取倒数 不等号变方向 化简为:
1/An+1-1/An>=1
由上式可依次列出:
1/A2-1/A1>=1
1/A3-1/A2>=1
1/A4-1/A3>=1

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注:小写字母表示下标。
由已知 An+1≤An/(1+An) 且{An}为正项数列
所以 对不等式两边取倒数 不等号变方向 化简为:
1/An+1-1/An>=1
由上式可依次列出:
1/A2-1/A1>=1
1/A3-1/A2>=1
1/A4-1/A3>=1
1/A5-1/A4>=1
........
........
1/An-1/An-1>=1
将以上(n-1)个式子相加可以得到:
1/An-1/A1>=n-1
1/An-1/a>=n-1
化简得:
An<=a/(1+(n-1)a)

收起

已知正项数列{an}满足a1=a(0<a<1=,且an+1≤an/1+an.求证 an≤a/1+(n-1)a 已知正项数列{a}满足a1=1/2,且a(n+1)=an/(1+an) 1,求正项数列{a}的通项公式 2,求和:a1/1+a2/2+.2,求和:a1/1 + a2/2 +......+an/n 已知数列an满足a1=1,a(n+1)=an/(3an+1) 求数列通项公式 一道高二数列极限题已知:正项数列{An}和{Bn}中,A1=a (0 已知数列{an}满足a1=4且a(n+1),an,3成等差数列,其中.已知数列{an}满足a1=4且a(n+1),an,3成等差数列,其中n属于正自然数.1.求证:数列{an-3}是等比数列2.令bn=2n×an-6n,求数列{bn}的通项公式以及前n项 已知数列满足a1=1/2,an+1=2an/(an+1),求a1,a2已知数列满足a1=1/2,a(n+1)=2an/(an+1),求a1,a2;证明0 数列题,求通项已知数列{An}满足A=2An/(1-An),A1=2,求数列{An}的通项公式 已知数列满足a1=1,an-a(n-1)=n-1,求其通项 已知数列{an}满足a(n+1)=an+n,a1=1,则an= 已知数列{an}满足a(n+1)=an+lg2,a1=1,求an 数列{an)满足an=4a(n-1)+3,a1=0,求数列{an}的通项公式 已知数列{an}满足条件:a1=5,an=a1+a2+...a(n-1) n大于等于2,求数列{an}的通项公式 数列an满足an+1=根号(an^2+1)+an,a1=a>0,求an通项公式 已知数列{An}满足A1=1,A(n+1)=6A(n)+1,求{An}通项公式 已知数列{an}满足a1=1,3a(n+1)+an-7 已知数列an满足a1=2a,an=2a-a^2/an-1(n≥2)其中a是不为0的常数.求数列an的通项公式 已知数列{an}满足a1=2,a(n+1)=(5an-13)/(3an-7)则数列{an}的前100项的和是 已知数列{An}满足A1=2,A(n+1)=2An/(2+An).(1)求此数列的前三项,(2)求{An}的通项公式