某重点中学的一道数学竞赛题请给出一条"空间中不共面4点在同一正四面体的面上"这一命题的充要条件并证明.从题目看来包括：a）3个点在四面体的一个面上，另一点在其余3个面其中一个上
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 19:56:04
某重点中学的一道数学竞赛题请给出一条"空间中不共面4点在同一正四面体的面上"这一命题的充要条件并证明.从题目看来包括：a）3个点在四面体的一个面上，另一点在其余3个面其中一个上
某重点中学的一道数学竞赛题
请给出一条"空间中不共面4点在同一正四面体的面上"这一命题的充要条件并证明.
从题目看来包括：a）3个点在四面体的一个面上，另一点在其余3个面其中一个上；b）2个点在一个面上，另外2个点在其余3个面的1-2个上；c）4个点分别在四面体的4个面上这几种情况。楼下的回答明显不是a）的充要条件。
某重点中学的一道数学竞赛题请给出一条"空间中不共面4点在同一正四面体的面上"这一命题的充要条件并证明.从题目看来包括：a）3个点在四面体的一个面上，另一点在其余3个面其中一个上
那个啥充要条件就 在正四面体中最长线段是棱长
设四个点为A、B、C、D,设A、B、C三点中,A到B的距离为最大的
以A、B的长为正四面体的一边,再以C确定一个三角形Q（该三角形为A、B、C能确定的最小的三角形）,再在三角形Q以D在三角形的方向作一个正四面体P
①当D在正四面体P外时,只要把正四面体以ABC所在的面为中心放大,就可以使D在正四面体上,则四个点都在正四面体上
②当D在正四面体P内时
以B、C、D三点确定一个最小的三角形,然后可以以它为底,向A的方向作一个正四面体,因为正四面体最长的边是棱长,所以无论C在三角形Q何处,D在正四面体P中何处,点A都在正四面体外
所以只要以B、C、D确定的最小的三角形的中心放大该正四面体,最终能使A在正四面体上
其实三点可以确定一个平面,所以使三点在同一个面上,第四点在另一个面上就行了
逆证明：
设A、B、C三点中,A到B的距离为最大的
以A、B的长为正四面体的一边,再以C确定一个三角形Q
再在三角形Q以D在三角形的方向作一个正四面体P,使D在正四面体P内
以B、C、D三点确定一个最小的三角形,然后可以以它为底,向A的方向作一个正四面体
因为间中不共面4点在同一正四面体的面上
所以点A一定不在上述最小的三角形内
所以不论B、C、D在哪里,BC、CD、CB都小于等于AB
不懂再问,这本人自己做的.鄙人不是老师
不会
可否是4个点的距离两两相等呢