已知函数f(x)=x^2+bx+c满足条件：f(1+x)=f(1-x),且方程f(x)=x有相等实根（1）求f(x)的解析式 （2）当x∈[-1,+无穷）时,f(x)>=2(a-1)x+a+1/4恒成立,求a的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/31 21:11:18
已知函数f(x)=x^2+bx+c满足条件：f(1+x)=f(1-x),且方程f(x)=x有相等实根（1）求f(x)的解析式 （2）当x∈[-1,+无穷）时,f(x)>=2(a-1)x+a+1/4恒成立,求a的取值范围
已知函数f(x)=x^2+bx+c满足条件：f(1+x)=f(1-x),且方程f(x)=x有相等实根
（1）求f(x)的解析式 （2）当x∈[-1,+无穷）时,f(x)>=2(a-1)x+a+1/4恒成立,求a的取值范围
已知函数f(x)=x^2+bx+c满足条件：f(1+x)=f(1-x),且方程f(x)=x有相等实根（1）求f(x)的解析式 （2）当x∈[-1,+无穷）时,f(x)>=2(a-1)x+a+1/4恒成立,求a的取值范围
（1）f（1+x）=(1+x)²+b(1+x)+c=x²+2x+1+bx+b+c=x²+（b+2)x+(b+c+1)
f(1-x)=(1-x)²+b(1-x)+c=x²-2x+1-bx+b+c=x²-(b+2)x+(b+c+1)
∵f(1+x)=f(1-x)
∴b+2=-（b+2) ∴b=-2.
也就有：f(x)=x²-2x+c.
那么方程f(x)=x就可以变化为：x²-2x+c=x,x²-3x+c=0.
方程具有相等的实根,则△=b²-4ac=（-3）²-4×1×c=0,得到：c=9/4.
所以f(x)=x²-2x+9/4.
（2）由f(x)≥2(a-1)x+a+1/4恒成立,所以x²-2x+9/4≥2(a-1)x+a+1/4
化简,有：x²-2ax+(2-a)≥0.
该抛物线的顶点坐标为：x=-(-2a)/2=a,y=[4×1×(2-a)-(-2a)²]/4=2-a-a².
当x≥-1时,即a≥-1；
y≥0,2-a-a²=-（a+1)(a-2)≥0；由a≥-1得a+1≥0,所以a-2≤0,即a≤2.
因此,a的取值范围为：-1≤a≤2.
（1）b=-2,c=1,f(x)=x^2-2x+1
(2)a>=9/4
据题意，(1+x)^2+b(1+x)+c=(1-x)^2+b(1-x)+c,解得：b=-2;x^2-2x+c=x有相等实数根，则9-4c=0,c=9/4;f(x)=x^2-2x+9/4