1、反证法：非零实数a,b,c构成公差不为0的等差数列,求证：1/a、1/b、1/c不可能成等差数列2、已知abc三个实数,a+b+c=0,abc=1求证：a,b,c中至少有一个数大于3/2
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 06:42:20
1、反证法：非零实数a,b,c构成公差不为0的等差数列,求证：1/a、1/b、1/c不可能成等差数列2、已知abc三个实数,a+b+c=0,abc=1求证：a,b,c中至少有一个数大于3/2
1、反证法：非零实数a,b,c构成公差不为0的等差数列,求证：1/a、1/b、1/c不可能成等差数列
2、已知abc三个实数,a+b+c=0,abc=1
求证：a,b,c中至少有一个数大于3/2
1、反证法：非零实数a,b,c构成公差不为0的等差数列,求证：1/a、1/b、1/c不可能成等差数列2、已知abc三个实数,a+b+c=0,abc=1求证：a,b,c中至少有一个数大于3/2
1.假设1/a、1/b、1/c成等差数列
则,2/b=1/a+1/c=(a+c)/ac
b(a+c)=2ac
因为,a,b,c构成等差数列：2b=a+c
所以,2b^2=2ac
得到b^2=ac是等比数列,与原来的等差数列矛盾
所以,不成立
2.
由a+b+c=0及abc=1可知,a,b,c中只有一个正数、两个负数,
假设a是正数,由题意得b+c=-a,又：bc=1/a;
根据韦达定理知,b,c是方程x^2+ax+1/a=0的两个根,
判别式 :△=a^2-4/a≥0
因为a>0,所以a^3-4≥0,a^3≥4
a≥4^(1/3)>(3.375)^(1/3)=1.5;
即,a≥1.5
证明了a,b,c中必有一个大于等于1.5
2
证明：因A.B.C是等差数列，设其公差为D不等于0
所以 2B=A+C---1
假设1/A.1/B.1/C 是等差数列
那么2/B=1/A+1/C 故 A+C=2*AC/B
又1.2得AC=B*B
所以4B*B=A*A+C*C+2AC=4AC
故A*A+C*C-2AC=0 故{A-C} {A-C}=0 故可得A=C 故D=0
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证明：因A.B.C是等差数列，设其公差为D不等于0
所以 2B=A+C---1
假设1/A.1/B.1/C 是等差数列
那么2/B=1/A+1/C 故 A+C=2*AC/B
又1.2得AC=B*B
所以4B*B=A*A+C*C+2AC=4AC
故A*A+C*C-2AC=0 故{A-C} {A-C}=0 故可得A=C 故D=0
所以假设不成立
所以1/a、1/b、1/c不可能成等差数列
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(1)反证法 假设1/a、1/b、1/c是成等差数列,则1/a+1/c=2/b,b=2ac/(a+c)
又a,b,c是公差为d的等差数列,则(a+c)/2=b,故得
(a+c)/2=b=2ac/(a+c),(a+c)^2=4ac,(a-c)^2=0,c-a=0,故d=(c-a)/2=0.这与公差不为0矛盾.
(2)由a+b+c=0,abc=1可知,a,b,c中有两个负...
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(1)反证法 假设1/a、1/b、1/c是成等差数列,则1/a+1/c=2/b,b=2ac/(a+c)
又a,b,c是公差为d的等差数列,则(a+c)/2=b,故得
(a+c)/2=b=2ac/(a+c),(a+c)^2=4ac,(a-c)^2=0,c-a=0,故d=(c-a)/2=0.这与公差不为0矛盾.
(2)由a+b+c=0,abc=1可知,a,b,c中有两个负数,一个正数,不妨设a>0.则由abc=1得a=1/(bc),故1/(bc)+b+c=0,(bc)(b+c)+1=0,-b>0,-c>0,由算法平均不小于几何平均-(b+c))≥2√(bc),(b+c)≤-2√(bc),0=(bc)(b+c)+1≤-2(bc)√(bc)+1,
2(bc)√(bc)≤1,(bc)^(3/2)≤1/2,(bc)≤(1/2)^(2/3)=1/4^(1/3),1/(bc)≥4^(1/3),即a≥4^(1/3)>(27/8)^(1/3)=3/2.
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