四棱锥p-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=根号6,点E是PB中点,AD=根号三条件如题目,问题①求点D到平面PBC的距离②求ED与平面PAC所成角③求二面角A-EC-D的大小.（抱歉没法给图.）
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 10:58:38
四棱锥p-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=根号6,点E是PB中点,AD=根号三条件如题目,问题①求点D到平面PBC的距离②求ED与平面PAC所成角③求二面角A-EC-D的大小.（抱歉没法给图.）
四棱锥p-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=根号6,点E是PB中点,AD=根号三
条件如题目,问题①求点D到平面PBC的距离②求ED与平面PAC所成角③求二面角A-EC-D的大小.
（抱歉没法给图.）
四棱锥p-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=根号6,点E是PB中点,AD=根号三条件如题目,问题①求点D到平面PBC的距离②求ED与平面PAC所成角③求二面角A-EC-D的大小.（抱歉没法给图.）
①几何法：连接AE
∵四边形ABCD为矩形
∴BC⊥AB
∵PA⊥面ABCD
∴PA⊥BC ,BC⊥面PAB,BC⊥AE
∵PA=AB=√6 (根号6),E为PB中点
∴AE⊥PB PB=2√3
∴AE⊥面PBC,点A到面PBC的距离为AE
∵AD∥BC
∴AD∥面PBC,点D到平面PBC的距离为AE=1/2 PB=√3
向量法：以A为坐标原点,AB方向为x轴正方向,AD方向为y轴正方向,AP方向为z轴正方向建立空间直角坐标系.
P：（0,0,√6 ）B：（√6,0,0）C：（√6,√3,0）D：（0,√3,0）
BP向量=（-√6,0,√6）BC向量=（0,-√3,0）设法向量n=（a,b,c）
n· BP=0 得a=c
n· BC=0 得b=0 所以令n=（1,0,1）
DC向量=（√6,0,0）
点D到平面PBC的距离h=（DC向量·n）/| n |=（√6）/√2=√3
②向量法：以A为坐标原点,AB方向为x轴正方向,AD方向为y轴正方向,AP方向为z轴正方向建立空间直角坐标系.
面PAC的法向量n=（1,-√2,0）
DE向量=（√6 /2,-√3,√6 /2）
cos＜n,DE＞=（n· DE）/（| n || DE |）=√3 /2
所以ED与平面PAC所成角为30°
③过点E做EF⊥AB于点F,过点F做FG⊥AC于点G
∵EF⊥面ABCD,FG⊥AC
∴二面角A-EC-D的平面角为∠EGF的补角
EF=1/2 PA = √6 /2 GF=√2 /2
tan∠EGF=EF/GF=√3
∴∠EGF=60° 二面角A-EC-D的大小为180°-60°=120°