在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC⊥BD,若AD=3,BC=7,则梯形ABCD面积的最大值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/25 07:13:46
在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC⊥BD,若AD=3,BC=7,则梯形ABCD面积的最大值
在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC⊥BD,若AD=3,BC=7,则梯形ABCD面积的最大值
在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC⊥BD,若AD=3,BC=7,则梯形ABCD面积的最大值
给你一个思路：
梯形面积等于两底之和乘以高除以2,所以：梯形ABCD的面积等于（3＋7）×高÷2＝5×高
所以,面积最大就是高最大.
设AC和BD交于E,则△AED的高加上△BEC的高等于梯形的高.
要让梯形的高最大,就要让△AED的高加上△BEC的高最大.
以△AED为例：
2×S△AED ＝ AE×DE ＝ AD ×高＝3×高
所以要让高最大,就等于AE×DE最大,而AE和DE的平方和等于AD的平方等于9,所以：
令AE ＝ a,DE ＝ b,则 a^2＋b^2－2ab ＝ (a－b)^2 ≥ 0
∴ 2ab ≤ a^2＋b^2 ＝9
这样就可以算出△AED的高,同理算出△BEC的高,加在一起就是梯形的高.
再根据一开始说的梯形面积的公式,就可算出梯形ABCD面积的最大值.
另外,如果是填空或者选择题,有个窍门：就是AE＝DE,直接用勾股定理就可以算出高,直接乘以5就行了.
作DF∥AC叫BC的延长线于F
那么ACFD为平行四边形，三角形BDF为直角三角形
所以S△CFD=S△ACD=S△ABD
所以S△CFD+S△BCD=S△ABD+S△BCD
即S△BDF为梯形的面积
且有BF=AD+BC=10
设DB=a，DF=b
根据勾...
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作DF∥AC叫BC的延长线于F
那么ACFD为平行四边形，三角形BDF为直角三角形
所以S△CFD=S△ACD=S△ABD
所以S△CFD+S△BCD=S△ABD+S△BCD
即S△BDF为梯形的面积
且有BF=AD+BC=10
设DB=a，DF=b
根据勾股定理，有a^2+b^2=10^2=100
S△BDF=ab/2≤（a^2+b^2）/4=25 ，当a=b时取等号
所以梯形的最大面积是25
收起
过D作DE∥AC，交BC于E，则得平行四边形ACED，CE=AD=3
∵AC⊥BD，∴DE⊥BD，△BDE为直角三角形
取BE中点F，连接DF，则DF=BE/2=10/2=5
根据垂线段最短，过D作BE垂线段DH，则DH≤DF=5
∴S梯形ABCD=（AD+BE）DH/2≤（AD+BE）DF/2=（3+7）5/2=25