讨论函数f(x)=(sin2x)/x 在（0,+∞）内的有界性

讨论函数f(x)=(sin2x)/x 在（0,+∞）内的有界性
讨论函数f(x)=(sin2x)/x 在（0,+∞）内的有界性

讨论函数f(x)=(sin2x)/x 在（0,+∞）内的有界性
对于函数y=f（x）,如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f（x+T）=f（x）都成立,那么就把函数y=f（x）叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期.
周期函数性质：
（1）若T（≠0）是f(X)的周期,则-T也是f(X)的周期.
（2）若T（≠0）是f(X)的周期,则nT（n为任意非零整数）也是f(X)的周期.
（3）若T1与T2都是f(X)的周期,则T1±T2也是f(X)的周期.
（4）若f(X)有最小正周期T*,那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍.
（5）T*是f(X)的最小正周期,且T1、T2分别是f(X)的两个周期,则 （Q是有理数集）
（6）若T1、T2是f(X)的两个周期,且 是无理数,则f(X)不存在最小正周期.
（7）周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合.
1、周期函数的定义及性质
定义：设f(x)是定义在数集M上的函数,如果存在非零常数T具有性质；
（1）对 有（X±T） ；
（2）对 有f（X+T）=f（X）
则称f（X）是数集M上的周期函数,常数T称为f（X）的一个周期.如果在所有正周期中有一个最小的,则称它是函数f（X）的最小正周期.
由定义可得：周期函数f（X）的周期T是与X无关的非零常数,且周期函数不一定有最小正周期.
例1 常数值函数f（X）=C（C是常数）是实数集R上以任意非零实数为周期的周期函数.
狄利克莱函数D（X）= 是实数集上任意非零有理数为周期的周期函数.
由于正实数和正有理数都没有最小的,因而它们都没有最小正周期.
2、性质：
（1）若T（≠0）是f(X)的周期,则-T也是f(X)的周期.
（因f[x+(T-T)]=f[X+(-T)]= f(X)）.
因而周期函数必定有正周期.
（2）若T（≠0）是f(X)的周期,则nT（n为任意非零整数）也是f(X)的周期.
证：当n＞0时,f(x+nT)=f[x+(n-1)T+T]=f[x+(n-1)T]=……
=f（x+T）= f(X).
当n＜0时,∵-n＞0,由前证和性质1可得：
nT=-（-nT）是f(X)的周期.∴当n为任意非零整数时命题成立.
（3）若T1与T2都是f(X)的周期,则T1±T2也是f(X)的周期.（因f[x+（T1±T2）]=f（x+T1）= f(X)）.
（4）、如果f(X)有最小正周期T*,那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍.否则必存在n1r Z+（Z+为正整数）使T=n1T*+r（0＜r＜T*）,则对 （f(X)的定义域）有f(X)=f（x+T）=f＝（x+n1T*+r）=f（x+r）,∴r也是f(X)的正周期,与T*是f(X)的最小正周期矛盾.∴T必是T*的正整数倍.
（5）T*是f(X)的最小正周期,且T1、T2分别是f(X)的两个周期,则 （Q是有理数集）
证：据条件和性质4知,存在K1、K2 Z,使T1=K1T*,T2=K2T*,∴ .
（6）若T1、T2是f(X)的两个周期,且 是无理数,则f(X)不存在最小正周期.（用反证法据性质5即可证得）.
（7）周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合.
证：若T是f(X)的周期,则nT（n ,n≠0）也是f(X)的周期,∴ 有X±nT M,∴M双方无界,但并非M必定（-∞、+∞）,如tgX和ctgX的定义域分别为X≠Kπ+π/2和X≠Kπ（K ）.
例2：f(X)=sinX（ ≤10π）不是周期函数.
3、周期函数的判定
定理1 若f(X)是在集M上以T*为最小正周期的周期函数则K f(X)+C（K≠0）和1/ f(X)分别是集M和集｛X/ f(X) ≠0,X ｝上的以T*为最小正周期的周期函数.
证：∵T*是f(X)的周期,∴对 有X±T* 且f(X+T*)= f(X),∴K f(X)+C=K f(X+T*)+C,∴K f(X)+C也是M上以T*为周期的周期函数.
假设T* 不是Kf(X)+C的最小正周期,则必存在T’（ 0＜T’＜T*）是K f(X)+C的周期,则对 ,有K f(X+T’)+C=K f(X) +C K[f(X+T’)- f(X)]=0,∵K≠0,∴f(X+T’)- f(X)=0,∴f(X+T’)= f(X),∴T’是f(X)的周期,与T*是f(X)的最小正周期矛盾,∴T*也是K f(X)+C的最小正周期.
同理可证1/ f(X)是集｛X/ f(X) ≠0,X ｝上的以T*为最小正周期的周期函数.
定理2：若f(X)是集M上以T*为最小正周期的周期函数,则f(aX+n)是集｛X/aX+ b ｝上的以T*/ 为最小正周期的周期函数,（其中a、b为常数）.
证：（先证 是f(ax+b)的周期）,∵T*是f(X)的周期,∴ ,有X±T*∈M,∴a（X± ）+b=ax+b±T*∈M,且f[a（X+ ）+b]=f（ax+b±T*）=f（ax+b）∴ 是f（ax+b）的周期.
再证 是f（ax+b）的最小正周期
假设存在T’（0＜T’＜ ）是f（ax+b）的周期,则f（a（x+T’）+b）=f（ax+b）,即f（ax+b+aT’）=f（ax+b）,因当X取遍｛X/X∈M,ax+b∈M｝的各数时,ax+b就取遍M所有的各数,∴aT’是f(X)的周期,但 ＜ =T*这与T*是f(X)的最小正周期矛盾.
定理3：设f(u)是定义在集M上的函数u=g（x）是集M1上的周期函数,且当X∈M1时,g(x)∈M,则复合函数f(g(x))是M1上的周期函数.
证：设T是u=g(x)的周期,则 1有（x±T）∈M1且g（x+T）=g(x) ∴f(g(x+T))=f(g(x)) ∴=f(g(x))是M1上的周期函数.
例3 设=f(u)=u2是非周期函数,u= g(X)=cosx是实数集R上的周期函数,则f(g(x))=cos2x是R上的周期函数.
同理可得：（1）f(X)=Sin(cosx),（2）f(X)=Sin(tgx),（3）f(X)=Sin2x,（4）f(n)=Log2Sinx(sinx＞0)也都是周期函数.
例4,f(n)=Sinn是周期函数,n=g(x)=ax+b(a≠0)是非周期函数,f(g(x))=Sin(ax+b)是周期函数（中学数学中已证）.
例5,f(n)=cosn是周期函数,n=g(x)= （非周期函数）而f(g(x))=cos 是非周期函数.
证：假设cos 是周期函数,则存在T＞0使cos
（k∈Z）
与定义中T是与X无关的常数矛盾,∴cos 不是周期函数.
由例4、例5说明,若f(u)是周期函数,u= g(X)是非周期函数,这时f(g(x))可能是,也可能不是周期函数.
定理4：设f1(X)、f2(X)都是集合M上的周期函数,T1、T2分别是它们的周期,若T1/T2∈Q则它们的和差与积也是M上的周期函数,T1与T2的公倍 数为它们的周期.
证：设 （(p·q)=1）设T=T1q=T2p则有： 有（x±T）=（x±T1q）=（x±T2p）∈M,且f1(x+T) ±f2（x+T）= f1(x+T1q) ±f2（x+T2p）= f1(X)±f2(X) ∴f1(X) ±f2(X)是以T1和T2的公倍数T为周期的周期函数.同理可证：f1(X) 、f2(X)是以T为周期的周期函数.
推论：设f1(X) 、f2(X)……fn(X) 是集M上的有限个周期函数T1、T2……Tn分别是它们的周期,若, … （或T1,T2……Tn中任意两个之比）都是有理数,则此n个函数之和、差、积也是M上的周期函数.
例6 ,f(X)=Sinx-2cos2x+sin4x是以2π、π、π/2的最小公倍 数2π为周期的周期函数.
例7,讨论f(X)= 的周期性
2tg3 是以T1= 为最小正周期的周期函数.
5tg 是以T2 为最小正周期的周期函数.
tg2 是以T3= 为最小正周期的周期函数.
又 都是有理数
∴f(X)是以T1、T2、T3最小公倍数（T1、T2、T3）= 为最小正周期的周期函数.
同理可证：（1）f(X)=cos ;
(2) f(x)= ；
(3)f(x)=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x.是周期函数.
定理5,设f1(x)=sin a1x,f2(x)=cosa2x,则f1(x)与f2(x)之和、差、积是周期函数的充要条件是a1/a2∈Q.
证：先证充分性：
若a1/a2∈Q,设T1、T2分别为f1(x)与f2(x)的最小正周期,则T1= 、T2= ,又 ∈Q
由定理4可得f1(x)与f2(x)之和、差、积是周期函数.
再证必要性（仅就f1(x)与f2(x)的差和积加以证明）.
（1）设sina1x-cosa2x为周期函数,则必存在常数T＞0,使sina1(x+T)-sina1x=cosa2(x+T)-cosa2x 2cos(a1x+ )sin =
-2sin s(a2x+ ) sin (1).
令x= 得2cos（a1x+ ）,则 （K∈Z）.(2)
或 C∈Z（3）
又在（1）中令 2sin（a2x+ ）sin =-2sin =0
由(4)
由sin （5）
由上述（2）与（3）,（4）与（5）都分别至少有一个成立.
由（3）、（5得 ）（6）
∴无论（2）、（4）、（6）中那一式成立都有a1/a2 .
（2）设sinaxcosa2x为周期函数,则
是周期函数.
∴ ∴
例8 求证f(X)=sin x+cos x是非周期函数.
证：假设f(X)是周期函数,则 是无理数矛盾.∴f(X)是非周期函数.
4、非周期函数的判定
（1）若f(X)的定义域有界
例9,f(X)=cosx（ ≤10）不是周期函数.
（2）根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f(X+T)= f(X)中是与X无关的,故讨论时可通过解关于T的方程f(X+T)- f(X)=0,若能解出与X无关的非零常数T便可断定函数f(X)是周期函数,若这样的T不存在则f(X)为非周期函数,如例,f(X)=cos 是非周期函数（例5）.
（3）一般用反证法证明.（若f(X)是周期函数,推出矛盾,从而得出f(X)是非周期函数）.
例10 证f(X)=ax+b(a≠0)是非周期函数.
证：假设f(X)=ax+b是周期函数,则存在T（≠0）,使对 ,a（x+T）+b=ax+b ax+aT-ax=0 aT=0 又a≠0,∴T=0与T≠0矛盾,∴f(X)是非周期函数.
例11 证f(X)= 是非周期函数.
证：假设f(X)是周期函数,则必存在T（≠0）对 ,有(x+T)= f(X),当x=0时,f(X)=0,但x+T≠0, ∴f(x+T)=1,∴f(x+T) ≠f(X)与f(x+T)= f(X)矛盾,∴f(X)是非周期函数.
例12 证f(X)=sinx2是非周期函数
证：若f(X)= sinx2是周期函数,则存在T（＞0）,使对 ,有sin(x+T)2=sinx2,取x=0有sinT2=sin0=0,∴T2=Kπ（K∈Z）,又取X= T有sin( T+T)2=sin（ T）2=sin2kπ=0,∴( +1)2
T2=Lπ(L∈Z+),∴
与3+2 是无理数矛盾,∴f(X)=sinx2是非周期函数.
例13 证f(X)=cos(lgx)为非周期函数
证：若f(X)=cos(lgx)是周期函数,则必存在T（＞0）使对 ＞0有cos[lg(x+T)]=cos(lgx),当x=T时,cos(lg2T)=cos(lgT),当x=2T时,有cos(lg3T)=cos(lg2T)=cos(lgT)……,当x=9T时有cos(lg10T)=cos(lg9T)=cos(lg8T)=……cos(lgT) ∴cos(lgT)=cos(lg10T)=cos(1+lgT)=cos1cos(lgT)-sin1sin(lgT)
∴
同理可得当X=99T时有cos(lgT)=
∴ =
若sin(lgT)≠0时,有

∴cos1-cos21=sin21
∴cos1=1 显然不成立.
又若sin(lgT)=0 则lgT=Kπ ∴cos(lgT)=±1
cos(lg10T)=cos(1+lgT)=cos1cos(lgT)-sin1sin(lgT)=cos1=±1同样不成立 ∴cos(lgx)是非周期函数.
证法2： ∵cos(lgx)的定义域为x＞0,不是双方无界集合,由性质可知cos(lgx)不是周期函数.
类似的还可证f(X)=cos(arc cosx)为非周期函数.
参考文献：
[1] 人民教育出版社中学数学室编,高级中学课本、代数上册 1990.10
[2] 曾建国、谈谈周期函数.中学数学教学参考 1999.4

(1) x→0时，limf(x)=lim 2sin2x/2x=2lim sin2x/2x=2
(2) x∈（0，+∞）时，∣(sin2x)/x∣≤1/x
（3） x→+∞时，因为 0≤ ∣(sin2x)/x∣ ≤1/x
所以 0≤ lim∣(sin2x)/x∣ ≤lim1/x=0 ,所以lim∣(sin2x)/x∣=0
综上知f(x)=(sin...

全部展开

(1) x→0时，limf(x)=lim 2sin2x/2x=2lim sin2x/2x=2
(2) x∈（0，+∞）时，∣(sin2x)/x∣≤1/x
（3） x→+∞时，因为 0≤ ∣(sin2x)/x∣ ≤1/x
所以 0≤ lim∣(sin2x)/x∣ ≤lim1/x=0 ,所以lim∣(sin2x)/x∣=0
综上知f(x)=(sin2x)/x 在（0，+∞）内是有界函数
注意： x∈（0，+∞）时，-4xsin2x<0不成立

收起

x→0，f(x)=2x/x=2
f'(x)=(2x*cos2x-sin2x)/x^2
f'(0)=0
2x*cos2x-sin2x的导数为2cos2x-4xsinx-2cos2x=-4xsin2x<0
即f'(x)恒小于等于0
f(x)单调减小
x→无穷大时，f(x）=0，即f(x)在定义域内单调有界