自然对数e的来源以及证明

自然对数e的来源以及证明
自然对数e的来源以及证明

自然对数e的来源以及证明
e的全称是自然对数的底,不是自然对数,自然对数是ln. 自然对数的底e,一般认为是欧拉（Leonhard Euler,1707-1783,瑞士）在研究微积分的时候发现的.e=lim（1+1/x）^x,当x趋近于正无穷时的极值.在计算中,一般取 e=1+1/(1!)+1/(2!)+1/(3!).,越多项越准确. 与上次提到的圆周率相比,e对于人类的重要性并不像π那样显而易见.但是e又是无处不在的. -----------分割线----------- 古人对e的认识 公元前1700年左右,古巴比伦人就曾提出一个问题： 如果以20%的年利息贷款给别人,那么一年后你有多少钱? 这道题无非是一个简单的公式：1x(1+0.2)^1=1.2 如果每半年复利一次,则第一年的本利和为1x(1+0.2/2)^2=1.21 如果每季度复利一次,则为1x(1+0.2/4)^4=1.21550625 如果每月复利一次,则为1.2193910849 每天复利一次,则为1.221335858 如果每时、每分、每秒复利,第一年的本利和分别为1.2213999696、1.2214027117、1.2214027574. 从上面的计算可以看出,年率一定,分期复利,期数增加,本利和缓慢增大；但无论期数怎么增加,本利和并不会无限制地增大,而是有一个“封顶”,永远超过不了.这个封顶就是时时刻刻都在复利时第一年的本利和,用数学语言来将就是期数趋向无穷大时第一年本利和的极限.稍懂点微积分就能算出这个极限等于 e^0.2=1.2214027581 巴比伦人不知道这个连续复利的问题,很显然,在古代讨论这么大的小数是令人痛苦的. -----------分割线----------- 伯努利家族对e的贡献 在1683年,瑞士著名数学家雅各·伯努利（Jacob Bernoulli, 1654～1705）在研究连续复利时,才意识到问题须以极限方式来解决.但是他只提出了一个式子,觉得这个数应该在2和3之间,并未得到完整的数据.因为那时候,还没有极限的概念. 顺便说一句,伯努利家族3代人出了8位天才科学家.这位雅各·伯努利醉心于赌博游戏中的输赢次数,并写出巨著《猜度术》.他还解决了悬链线问题（1690 年）,曲率半径公式（1694年）,“伯努利双纽线”（1694年）,“伯努利微分方程”（1695年）,“等周问题”（1700年）等.另外,他非常钟爱对数螺旋线,最为人们津津乐道的轶事之一,是雅各布醉心于研究对数螺线,这项研究从1691年就开始了.他发现,对数螺线经过各种变换后仍然是对数螺线,如它的渐屈线和渐伸线是对数螺线,自极点至切线的垂足的轨迹,以极点为发光点经对数螺线反射后得到的反射线,以及与所有这些反射线相切的曲线（回光线）都是对数螺线.他惊叹这种曲线的神奇,竟在遗嘱里要求后人将对数螺线刻在自己的墓碑上,并附以颂词“纵然变化,依然故我”,用以象征死后永生不朽. 还有个约翰· 伯努利,他除了解决悬链线问题（1691年）,提出洛必达法则（1694年）、最速降线（1696年）和测地线问题（1697年）,给出求积分的变量替换法（1699年）,研究弦振动问题（1727年）,出版《积分学教程》（1742年）等工作外,还有个对人类数学界最大的功劳,那就是： 培养了一位好学生——欧拉. 学物理学的同学也听说过另一位伯努利：丹尼尔· 伯努利,他是上面一位约翰的儿子.此人对流体动力学的贡献极大.并研究弹性弦的横向振动问题(1741～1743年),提出声音在空气中的传播规律 (1762年).他的论著还涉及天文学(1734年)、地球引力 (1728年)、湖汐(1740年)、磁学(1743、1746年),振动理论(1747年)、船体航行的稳定(1753、1757年)和生理学 (1721、1728年)等. 扯远了,我们还是回到自然对数上来. -----------分割线----------- 天才欧拉的诞生 现在,该轮到欧拉出场了.之前,我们先用些篇幅介绍这位欧拉先生. 欧拉的一生,称得上传奇.他不到十岁就开始自学《代数学》,要知道那时候很多欧洲的骑士还是大字不识呢.他在大学时得到约翰· 伯努利的提携,之后丹尼尔·伯努利又将他推荐到俄国彼得堡科学院.可以说,伯努利家族是欧拉的贵人. 欧拉可以用3天的时间计算出彗星轨道. 1771年彼得堡遭受大火灾,欧拉的书房毁于一旦.但是已经失明的他居然凭借记忆,用一年的时间重写出大部分论文. 欧拉写下886本书籍和论文,他死后彼得堡科学院花了47年才整理完毕. 欧拉可以背诵前100个质数的前10次幂. 欧拉创立了许多新的符号：课本上常见的如π（1736年）,i（1777年）,e（1748年）,sin和cos（1748年）,tg（1753年）,△x（1755年）,∑（1755年）,f(x)（1734年）等 几乎每个数学领域都有欧拉的名字：从初等几何的欧拉线,多面体的欧拉定理,立体解析几何的欧拉变换公式,四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数,微分方程的欧拉方程,级数论的欧拉常数,变分学的欧拉方程,复变函数的欧拉公式等等,数也数不清.他对数学分析的贡献更独具匠心,《无穷小分析引论》一书便是他划时代的代表作.歌德巴赫猜想也是在他与歌德巴赫的通信中提出来的.欧拉还首先完成了月球绕地球运动的精确理论,创立了分析力学、刚体力学等力学学科,深化了望远镜、显微镜的设计计算理论.欧拉最先把对数定义为乘方的逆运算,并且最先发现了对数是无穷多值的.他证明了任一非零实数R有无穷多个对数.欧拉使三角学成为一门系统的科学,他首先用比值来给出三角函数的定义,而在他以前是一直以线段的长作为定义的.欧拉的定义使三角学跳出只研究三角表这个圈子.欧拉对整个三角学作了分析性的研究.在这以前,每个公式仅从图中推出,大部分以叙述表达.欧拉却从最初几个公式解析地推导出了全部三角公式,还获得了许多新的公式.欧拉用a、b、c 表示三角形的三条边,用A、B、C表示第个边所对的角,从而使叙述大大地简化.欧拉得到的著名的公式,又把三角函数与指数函联结起来. 以上一长段,各位不想看就不看吧,这些在各位的高中数学中都学过. 在老师的指导下,欧拉很快提出了用无穷阶乘的倒数和来表示自然对数的底的公式.有了公式,就容易很多.据说他靠手算就算到了小数点之后23位.考虑到这位牛人记忆力超群,这样的事情似乎也很正常. 自然对数的出现,不但使悬链方程迎刃而解,而且对于当时很热门的天文学——西方的星象学——也具有重要意义.对数使得复杂的乘法运算可以转变为简单的加法,只要查阅对数表就可以了.同时,对数尺也应运而生.当然在计算器普及的今天,已经很少有人用这种东西了. -----------分割线----------- C版本 #include int main() { double A(double ); double e=1.0,f; double n=1.0; while(1) { f=1.0/A(n); if(f>0.0000001) { n++; e=e+f; } else break; } printf("%0.16f\n",e); return 0; } double A(double a) { double b=1,c=a; for(;b