如图80013,ΔABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AE平分∠BAC交BC于E,过C、E、D三点作圆交AE于G,CD与AE交于F点.求证:AG=FG

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 01:53:56
如图80013,ΔABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AE平分∠BAC交BC于E,过C、E、D三点作圆交AE于G,CD与AE交于F点.求证:AG=FG如图80013,ΔABC中,∠ACB=90

如图80013,ΔABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AE平分∠BAC交BC于E,过C、E、D三点作圆交AE于G,CD与AE交于F点.求证:AG=FG
如图80013,ΔABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AE平分∠BAC交BC于E,过C、E、D三点作圆交AE于G,CD与AE交于F点.求证:AG=FG

如图80013,ΔABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AE平分∠BAC交BC于E,过C、E、D三点作圆交AE于G,CD与AE交于F点.求证:AG=FG

本题角的关系过于复杂,用数字表示:
证明:∵CD⊥AB,
∴∠B+∠4=90°,∠5+∠7=90°,∠2+∠6=90°,
∵∠ACB=90°,∴∠3+∠4=90°,∴∠3=∠B,
∵∠6=∠1+∠3,∠8=∠2+∠B,∠1=∠2,
∴∠6=∠8,
∵∠5=∠8,∴∠5=∠6,
∴GD=FG,∠2=∠7,
∴GD=AG,
∴AG=FG.

证明:因为CD垂直AB
所以角BDC=角ADC=90度
因为角BDC+角B+角BCD=180度
所以角BCD+角B=90度
因为角ACB=角ACD+角BCD=90度
所以角ACD=角B
因为AE平分角BAC
所以角CAE=角BAE
因为角CFE=角CAE+角DAC
角CEF=角BAE+角B
所以角AFE=角CEF

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证明:因为CD垂直AB
所以角BDC=角ADC=90度
因为角BDC+角B+角BCD=180度
所以角BCD+角B=90度
因为角ACB=角ACD+角BCD=90度
所以角ACD=角B
因为AE平分角BAC
所以角CAE=角BAE
因为角CFE=角CAE+角DAC
角CEF=角BAE+角B
所以角AFE=角CEF
因为角CFE=角GFD
所以角GFD=角CEF
因为过C,E,D三点作圆交AE于G
所以角CEF=角GDF
所以角GDF=角GFD
所以DG=FG
因为角ADC=角GDF+角ADG=90度
角ADC+角DAG+角GFD=90度
所以角DAG=角ADG
所以AG=DG
所以AG=FG

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