数论题,如图,求证如果u跟v不同为奇数且没有公因子,图中的a,b,c必没有公因子.

数论题,如图,求证如果u跟v不同为奇数且没有公因子,图中的a,b,c必没有公因子.
数论题,
如图,求证如果u跟v不同为奇数且没有公因子,图中的a,b,c必没有公因子.

数论题,如图,求证如果u跟v不同为奇数且没有公因子,图中的a,b,c必没有公因子.
很简单 若 a b c有公因子m
那么a+c和c-a也有公因子m即2v^2|m 2u^2|m 因为v u的奇偶性 决定了a和c都是奇数 所以m必为奇数就是说 u^2和v^2有公因子
而u v没有公因子可以推出u^2和v^2没有公因子这里矛盾 所以a b c没有公因子

勾股方程

先来a,b.反证法设（a,b）=d不为1,a=v^2-u^2,b=uv,
则d|uv,这样d|u,或d|v,不妨设
d|u,
则d|u^2,因为d|a,所以d|v^2,这样必有一个数e|v,其中e|d,e不为1,
这样e|u,与（u,v）=1矛盾
所以（a,b)=1,
然后证（a,c）=1,因为(a,c)=(a,a+c)=(v^2-u^2,2u^2)...

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先来a,b.反证法设（a,b）=d不为1,a=v^2-u^2,b=uv,
则d|uv,这样d|u,或d|v,不妨设
d|u,
则d|u^2,因为d|a,所以d|v^2,这样必有一个数e|v,其中e|d,e不为1,
这样e|u,与（u,v）=1矛盾
所以（a,b)=1,
然后证（a,c）=1,因为(a,c)=(a,a+c)=(v^2-u^2,2u^2),再用反证法，其中用到v,u不同为奇数。这样最大公因数d|u^2,以后就自己做了。
最后证（b,c）=1,跟第一个证明一样的。就不说了。
加分吧！

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