如图,菱形ABCD的边长为2,∠ABC=120,点E是BC的中点,点P为BD上一点,且△PCE的周长最小.(1)求∠ADE的度数(2)在BD上画出点P的位置,并写出作法(3)求△PCE周长的最小值这是图片
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2025/02/04 04:26:02
如图,菱形ABCD的边长为2,∠ABC=120,点E是BC的中点,点P为BD上一点,且△PCE的周长最小.(1)求∠ADE的度数(2)在BD上画出点P的位置,并写出作法(3)求△PCE周长的最小值这是图片
如图,菱形ABCD的边长为2,∠ABC=120,点E是BC的中点,点P为BD上一点,且△PCE的周长最小.
(1)求∠ADE的度数
(2)在BD上画出点P的位置,并写出作法
(3)求△PCE周长的最小值
这是图片
如图,菱形ABCD的边长为2,∠ABC=120,点E是BC的中点,点P为BD上一点,且△PCE的周长最小.(1)求∠ADE的度数(2)在BD上画出点P的位置,并写出作法(3)求△PCE周长的最小值这是图片
1、∵ABCD是菱形,∠ABC=120°
∴∠A=∠C=60° AB=BC=CD=AD
∠ABC=∠ADC=120°
∴△ABD和△BCD是等边三角形
∴∠C=∠BDC=60°
∵E是BC的中点,即DE是△BCD的中线
∴DE也∠BDC的角平分线
∴∠EDC=∠BDE=30°
∴∠ADE=∠ADC-∠EDC=120°-30°=90°
2、以BD为对称轴,做E的对称点E′,连接E′C,交BD于P,
连接PE,PC,△PCE的周长最小.
3、由于E点和E′对称(EE′交BD于O)
∴EE′⊥BD 即∠BOE′=∠BOE=90°
∵EO=E′O OB=OB
∴△BOE≌△BOE′
∴∠OBE′=∠OBE BE=BE′
∵∠OBE=∠ABO
∴E′在AB直线上 BE=BE′=EC=1/2AB=1
由余弦定理得
E′C²=BC²+BE′²-2BC×BE′×cos∠ABC
=4+1-2×2×1×(-1/2)
=5+2
=7
∴E′C=√7
∴△PCE的周长
=EC+PE+PC
=EC+E′C
=1+√7