a^2-b^2=12,求a^2+ab+b^2的最小值 请用高中阶段知识解答.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 14:26:28
a^2-b^2=12,求a^2+ab+b^2的最小值 请用高中阶段知识解答.
a^2-b^2=12,求a^2+ab+b^2的最小值 请用高中阶段知识解答.
a^2-b^2=12,求a^2+ab+b^2的最小值 请用高中阶段知识解答.
假设a=2根号3/cosx,b=2根号3tanx,x属于（-π,π）,且x不等于+-π/2,
则a,b满足a^2-b^2=12,
a^2+ab+b^2=12*（1/(（cosx)^2)+tanx/cosx+tanx^2)
1/（cosx^2)+tanx/cosx+tanx^2=(1+(sinx)^2+sinx）/（cosx）^2=(1+(sinx)^2+sinx）/(1-(sinx)^2)
=(2+sinx)/(1-(sinx)^2)-1
设k=sinx+2 则k属于（1.3）
(2+sinx)/(1-(sinx)^2)=k/(4k-k^2-3）=1/（4-（k+3/k)大于等于1/（4-2根号3）=1+根号3/2
1/（cosx^2)+tanx/cosx+tanx^2=(2+sinx)/(1-(sinx)^2)+1大于等于根号3/2
a^2+ab+b^2的最小值是6*根号3
...
a^2>=0,b^2>=0 b=0 a=根号12 a^2+ab+b^2=12
a^2+ab+b^2=12+2b^2+b(b^2+12)^(1/2),
设F(b)=12+2b^2+b(b^2+12)^(1/2),则F'(b)=(4b(b^2+12)^(1/2)+2b^2+12)/(b^2+12)^(1/2),
当b>=0时,显然F'(b)>0,
设R(b)=4b(b^2+12)^(1/2)+2b^2+12,(b<0)
所以R(b)=(4b^4+...
全部展开
a^2+ab+b^2=12+2b^2+b(b^2+12)^(1/2),
设F(b)=12+2b^2+b(b^2+12)^(1/2),则F'(b)=(4b(b^2+12)^(1/2)+2b^2+12)/(b^2+12)^(1/2),
当b>=0时,显然F'(b)>0,
设R(b)=4b(b^2+12)^(1/2)+2b^2+12,(b<0)
所以R(b)=(4b^4+48b^2+144)^(1/2)-(16b^4+192b^2)^(1/2),
因为16b^4+192b^2-4b^4+48b^2+144=12b^4+144b^2+144=12(b^4+12b^2+12)
=12((b^2+6)^2-24)>0,所以当b<0时,(4b^4+48b^2+144)^(1/2)<(16b^4+192b^2)^(1/2),
所以当b<0时,R(b)<0,
所以当b<0时,F'(b)<0,又因为当b>=0时,F'(b)>0,所以b=0时,F(b)最小,
即b=0时,a^2+ab+b^2取最小值,最小值为12
收起
a^2+ab+b^2=(a/2+b）^2+3/4*a^2
当a/2+b=0时可得最小值3/4*a^2， b=-a/2，带入a^2-b^2=12 =3/4*a^2
所以a^2+ab+b^2的最小值为12.