在椭圆球面2x^2+2y^2+z^2=1上的一点,使函数f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2在该店沿方向l=(1,-1,0)的方向导数最大
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 22:14:03
在椭圆球面2x^2+2y^2+z^2=1上的一点,使函数f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2在该店沿方向l=(1,-1,0)的方向导数最大
在椭圆球面2x^2+2y^2+z^2=1上的一点,使函数f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2在该店沿方向l=(1,-1,0)的方向导数最大
在椭圆球面2x^2+2y^2+z^2=1上的一点,使函数f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2在该店沿方向l=(1,-1,0)的方向导数最大
将向量L单位化可得其方向余弦：L0= (1,-1,0) / (√2)
对函数f求偏导数：f'x=2x,f'y=2y,f'z=2z,
由方向导数公式得 f'L=f'x * (1/√2) + f'y * (-1/√2)= (√2) (x-y)
以下就是求函数 H(x,y,z) = (√2) (x-y) 在条件 2x^2+2y^2+z^2=1下的最大值.用Lagrange乘数法.
构造函数 L(x,y,z)= (√2) (x-y) + k ( 2x^2+2y^2+z^2 -1)
令 L'x=0,L'y=0,L'z=0,L'k=0
得 √2 +4kx=0,-√2 +4ky=0,2kz=0,2x^2+2y^2+z^2=1(先由第三个得z=0,再由第一第二得x=-y,
代入第四个就可求x,y,z)
解得可能极值点 （-1/2,1/2,0),(1/2,-1/2,0)
比较这两点处H的值,得 Hmax= H(1/2,-1/2,0) = √2,所求的点为 (1/2,-1/2,0)
果断用拉格郎日乘法啊
设所求点为p(a ,b, c)
有条件的f关于x ;y; z 的偏导数分别是2x ;2y ;2z
则有d =√2a -√2b+u(2x^2+2y^2+z^2-1)
然后分别对x ,y, z求导得到三个方程（设其导数为零）再和 2x^2+2y^2+z^2=1联立就可解出 a b c了
f(x,y,z)在点（x',y',z')处沿向量l的方向导数为：2x'-2y'
如果你在空间坐标系中画出平面2x+2y=c，可知平面和椭球面相切时c取得最大值，这里用数学解，
显然要使2x'-2y'最大，必然是x'是正值，y'是负值，z'=0，那么可以设x'=sina/根号2，y=cosa/根号2，很容易求得x'=(根号2)/2,y'=(-根号2)/2时2x'-2y'取得最大值根号...
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f(x,y,z)在点（x',y',z')处沿向量l的方向导数为：2x'-2y'
如果你在空间坐标系中画出平面2x+2y=c，可知平面和椭球面相切时c取得最大值，这里用数学解，
显然要使2x'-2y'最大，必然是x'是正值，y'是负值，z'=0，那么可以设x'=sina/根号2，y=cosa/根号2，很容易求得x'=(根号2)/2,y'=(-根号2)/2时2x'-2y'取得最大值根号2.所求点为：
（根号2/2，-根号2/2，0）。
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