正方体ABCD-A1B1C1D1棱长是1,求点A到面A1BD的距离

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/11 03:45:44
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正方体ABCD-A1B1C1D1棱长是1,求点A到面A1BD的距离
AA1B1B面上,作AO垂直于A1B；连OD,作OM垂直于OD.
易证明A1BD是等边三角形,边长为√2,AO=√2/2.
又AD⊥AA1B1B,可知AD⊥OA,AM*OD=AD* AO,易求得OD=√2*√3/2=√6/2可求得AM=√5/5.
事实上这个就是所求,现在只需要证明AM⊥BM.
继续利用勾股定理,OM=√30/10,由等边三角形易证明DO⊥A1B,BM=2√5/5=DM,故△ABM也满足勾股定理,AM⊥BM.
另外,一个方法,AA1BD是正三棱锥,三条棱相等,底面为等边三角形,可证明M点是底面的中心.

四棱锥A-A1BD的体积=△ABD面积*A1A*1/3=1/6
四棱锥A-A1BD的体积=△A1BD面积*A到面A1BD的距离*1/3
=A到面A1BD的距离*√3/6
所以，A到面A1BD的距离*√3/6=1/6
A到面A1BD的距离=√3/3

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