已知AD是三角形ABC 的角平分线,求证AD2=AB*AC-BD*DC.不要用三角函数,可以用Ceva定理或Menelaus定理
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 02:42:25
已知AD是三角形ABC 的角平分线,求证AD2=AB*AC-BD*DC.不要用三角函数,可以用Ceva定理或Menelaus定理
已知AD是三角形ABC 的角平分线,求证AD2=AB*AC-BD*DC.不要用三角函数,可以用Ceva定理或Menelaus定理
已知AD是三角形ABC 的角平分线,求证AD2=AB*AC-BD*DC.不要用三角函数,可以用Ceva定理或Menelaus定理
证明：在△ABC中,延长AC到E,使CE＝CD,则AE=AC+CD,∠AED=∠C/2．
在AB边上取点F,使BF＝BD,则AF=AB－BD,∠BDF=∠BFD.
连结DE,DF．
在△AED与△ADF中,∠EAD=∠DAF=∠A/2； ①
∠BDF+∠BFD=180°-∠B=∠A+∠C,
即∠BFD=(∠A+∠C)/2
又 ∠BFD=∠ADF+∠A/2
∴∠ADF=∠BFD-∠A/2=(∠A+∠C)/2-∠A/2=∠C/2=∠AED；②
由①②得△AED～△ADF(两个角对应相等的两个三角形相似)
则 AE/AD=AD/AF
从而 AD^2＝AE×AF＝(AC＋CD)(AB－BD)=AB*AC-AC*BD+AB*CD-BD*CD ③
另,过B作DA的平行线交CA延长线于G点
从而 BD/DC=BA/AG ④
∵∠AGB=∠CAD=∠DAB=ABG
∴AB=AG 代入④得 BD/DC=BA/AC
从而 AB*CD-AC*BD=0 ⑤
将⑤代入③ 得 AD^2=AB*AC+0-BD*CD
=AB*AC-BD*DC
斯特瓦尔特定理推论
延长AD交△ABC的外接圆于E，连接EC，在△ABD和△AEC中，∠ABD=∠AEC，∠BAD=∠EAC，所以△ABD∽△AEC，AB/AE=AD/AC，或AE*AD=AB*AC；其中AE*AD=(AD+DE)AD
=AD²+DE*AD，而在外接圆中DE*AD=BD*DC，于是AD²+BD*DC=AB*AC，就是
AD²=AB*AC-BD*DC。