设四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA垂直底面ABCD,AB=根号3,平面PBC与底面ABCD所成的二面角为30°,（1）求平面PCD与底面ABCD所成二面角的余弦值；（2）求四棱锥P-ABCD的体积.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/01 14:39:36
设四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA垂直底面ABCD,AB=根号3,平面PBC与底面ABCD所成的二面角为30°,（1）求平面PCD与底面ABCD所成二面角的余弦值；（2）求四棱锥P-ABCD的体积.
设四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA垂直底面ABCD,AB=根号3,平面PBC与底面ABCD所成的二面角为30°,
（1）求平面PCD与底面ABCD所成二面角的余弦值；
（2）求四棱锥P-ABCD的体积.
设四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA垂直底面ABCD,AB=根号3,平面PBC与底面ABCD所成的二面角为30°,（1）求平面PCD与底面ABCD所成二面角的余弦值；（2）求四棱锥P-ABCD的体积.
（1）∵ABCD为正方形
∴AB⊥BC；
∵PA⊥ABCD；
∴面PBC与ABCD夹角就是PB与ABCD的夹角；
同样的,PD⊥CD,PA⊥CD
∴PCD与ABCD二面角就是∠PDA；
而且PB=PD；
∴AD=AB=√3；
∴PB=√3×2÷√3=2；PA=1；
∴PD=PB=2；
∴cos∠PDA=AD/PD=√3/2;
（2）体积=S正方形ABCD×高×(1/3)=√3×√3×PA×(1/3)=3×1×(1/3)=1;
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祝学习进步
（1）PA=根号3 ∠PBA=30° AB=3 PA⊥平面ABCD 所以 平面PCD与平面ABCD夹角即为∠PDA ∠PDA=30°
(2) 1/3sh=(1/3）*3*3√3=3√3
∵ABCD是正方形
∴CB⊥AB,CD⊥AD
∵PA⊥平面ABCD
∴CB⊥PA,CD⊥PD
∴CB⊥PB,CD⊥PD
∴∠PBA是二面角P-BC-A的平面角，∠PDA是二面角P-DC-A的平面角。
∴∠PBA=30度
∴PA=AB*tan 30=1
∴PD=√(PA^2+AD^2)=2
∴cos ∠PDA=AD/PD=√3/...
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∵ABCD是正方形
∴CB⊥AB,CD⊥AD
∵PA⊥平面ABCD
∴CB⊥PA,CD⊥PD
∴CB⊥PB,CD⊥PD
∴∠PBA是二面角P-BC-A的平面角，∠PDA是二面角P-DC-A的平面角。
∴∠PBA=30度
∴PA=AB*tan 30=1
∴PD=√(PA^2+AD^2)=2
∴cos ∠PDA=AD/PD=√3/2
即平面PCD与底面ABCD所成二面角的余弦值√3/2
V(P-ABCD)=1/3*(√3)^2*1=1
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