高数无穷级数三问求解1、积分∫_0^(+∞)▒(ln(1+x^2))/x^a 收敛域为______2、如果级数∑_(n=2)^∞▒〖[1+〖(-1)〗^n/n^p ]〗 (p>0)条件收敛,求p取值范围________3、级数∑_(n=1)^∞▒x^n/(n+1)和
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/27 21:20:26
高数无穷级数三问求解1、积分∫_0^(+∞)▒(ln(1+x^2))/x^a 收敛域为______2、如果级数∑_(n=2)^∞▒〖[1+〖(-1)〗^n/n^p ]〗 (p>0)条件收敛,求p取值范围________3、级数∑_(n=1)^∞▒x^n/(n+1)和
高数无穷级数三问求解
1、积分∫_0^(+∞)▒(ln(1+x^2))/x^a 收敛域为______
2、如果级数∑_(n=2)^∞▒〖[1+〖(-1)〗^n/n^p ]〗 (p>0)条件收敛,求p取值范围________
3、级数∑_(n=1)^∞▒x^n/(n+1)和函数为__________
符号变形了,请看截图：
抱歉，我检查了下原题，第二题确实有误，方括号前有个自然对数符号ln，大硬币帮我再看看吧，辛苦了，^-^
高数无穷级数三问求解1、积分∫_0^(+∞)▒(ln(1+x^2))/x^a 收敛域为______2、如果级数∑_(n=2)^∞▒〖[1+〖(-1)〗^n/n^p ]〗 (p>0)条件收敛,求p取值范围________3、级数∑_(n=1)^∞▒x^n/(n+1)和
\int_0^\infty{ln(1+x^2)/x^a}dx
=\int_0^1{ln(1+x^2)/x^a}dx+\int_1^\infty{ln(1+x^2)/x^a}dx
当x->0时,ln(1+x^2)/x^a～x^2/x^a=1/x^(a-2),故a-2<1时第一个积分收敛,a-2>=1发散；
当x\to \infty时,当a<=1时,第二积分发散；当a>1时,x^((1+a)/2）*ln(1+x^2)/x^a=ln(1+x^2)/x^(a/2-1)->0,由cauchy判别法,第二个积分收敛,故
1
由比较定理,当P>1时,级数绝对收敛；p<=1时,级数不绝对收敛
当p<=0时,级数发散.
主要关心0
ln(1+(-1)^n/n^p)=(-1)^n/n^p+1/n^(2p)+o(1/n^(2p))
三个加项对应的级数都收敛,故级数收敛,条件收敛；
当1/2>=p>0时,级数发散,理由如下：
ln(1+x)=x-x^2+...+(-1)^k*x^k+o(x^k)
其中k为偶数且满足k*p>1
将x=(-1)^n/n^p代入,和x奇次幂对应的级数都收敛,和偶次幂对应的级数都发散,且发散到负无穷,所以级数发散.
所以当1/2
x*p(x)=∑_(n=1)^∞▒x^(n+1)/(n+1)
两端对x求导
(x*p(x))'=∑_(n=1)^∞▒x^n=x/(1-x)
x*p(x)=\int_0^x{x/(1-x)}dx=-x-ln(1-x)
p(x)=-1-ln(1-x)/x
1.333302
2.65
3.98014
等我回去给你学
告诉我你邮箱 给你发图片
第三题，先积分求得其和函数为x/1-x, 再对其求导得 1/（1-x）平方，即为所求