求由y=e^x与y=e^(-x)以及x=1围成的面积A是多少?还有上述图形绕x轴旋转一周的体积是多少用定积分的知识解答,请高手给出详细的步骤越详细越好

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 08:28:05
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求由y=e^x与y=e^(-x)以及x=1围成的面积A是多少?还有上述图形绕x轴旋转一周的体积是多少用定积分的知识解答,请高手给出详细的步骤越详细越好
求由y=e^x与y=e^(-x)以及x=1围成的面积A是多少?还有上述图形绕x轴旋转一周的体积是多少
用定积分的知识解答,请高手给出详细的步骤越详细越好

求由y=e^x与y=e^(-x)以及x=1围成的面积A是多少?还有上述图形绕x轴旋转一周的体积是多少用定积分的知识解答,请高手给出详细的步骤越详细越好
z

见图:

A = ∫[e^x - e(-x)]dx   (积分区间为0到1)

=  ∫e^xdx - ∫e^(-x)dx = ∫e^xdx + ∫e^(-x)d(-x)

= e^x + e^(-x) (积分区间为0到1)

= e -1 + e(-1) -1

= e + 1/e - 2

上述图形绕x轴旋转一周, 在x处的截面积为: 

f(x) = π(e^x)² - π[e^(-x)]² = π[x^(2x) - x^(-2x)]

体积V =  ∫π[x^(2x) - x^(-2x)]dx

= π∫x^(2x)dx -  π∫x^(-2x)dx

= (π/2)∫x^(2x)d(2x) + (π/2)∫x^(-2x)d(-2x)

= (π/2)[e^(2x) + e^(-2x)]

= (π/2)(e² + 1/e² -2)

= π(e+1/e)²/2

根据题意作图,(自己作图) 知,所求体积=∫<0,1>π[(e^x) -(e^(-x)) ]dx =π∫<0,1>[e^(2x)-e^(-2x)]dx =(π/2)[e^(2x