关于高等数学曲面积分对称性问题在曲面z=x^2+y^2上,曲面关于zOx对称,y^2对y为偶函数,为什么 ∬y^2 dzdx=0?（某试卷答案） 教科书上不是说在对称区域,被积函数是奇函数才为0么.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/03 03:24:58
关于高等数学曲面积分对称性问题在曲面z=x^2+y^2上,曲面关于zOx对称,y^2对y为偶函数,为什么 ∬y^2 dzdx=0?（某试卷答案） 教科书上不是说在对称区域,被积函数是奇函数才为0么.
关于高等数学曲面积分对称性问题
在曲面z=x^2+y^2上,曲面关于zOx对称,y^2对y为偶函数,为什么 ∬y^2 dzdx=0?（某试卷答案）
教科书上不是说在对称区域,被积函数是奇函数才为0么.
关于高等数学曲面积分对称性问题在曲面z=x^2+y^2上,曲面关于zOx对称,y^2对y为偶函数,为什么 ∬y^2 dzdx=0?（某试卷答案） 教科书上不是说在对称区域,被积函数是奇函数才为0么.
首先,肯定一下教材没有错.错的是你的结论成立范围理解错误.
重积分曲线曲面都有第一型和第二型积分之分.
你说的判断原则只适用于第一型,即被积区域是没有方向之分的.
第二型曲线或曲面积分是被积区域带方向的.被积区域尽管对称,但对称的两区域积分方向不同,函数积分值就相互抵消了.
此题就属于第二型曲面积分.在曲面z=x^2+y^2上（取外侧也好,内侧也好）,zOx平面把曲面一分两半,一半方向指向y轴正方向,一半指向y轴负方向.
求解思路上：求解第二型曲面积分,都是把它转化为第一型曲面积分求解的.
然后一般的话,第一型曲面积分再投影到某个坐标平面积分求解.
几何上,你把曲面z=x^2+y^2投影到zOx面上的时候,原来的曲面是不是被你压扁成两层了啊,就像香蕉被你侧面一踩,香蕉内层或外层方向相反啊.层与层相抵消,所以结果为0
550178082同学通过变换把曲面积分投影到到xoy平面求了,曲面压缩到xoy面上是不是就是一层了吗,就像香蕉被你从上面播开,开花状铺成一层.这一层左右对称,同一层的左右相抵消就是0,无论这个面是朝上（对应题目所给曲面的内侧）还是朝下（对应题目所给曲面的外侧）.
回去再好好看看书本概念,耐心一点看,再联系本题,想通了会很开心.
很简单，试卷上答案可以印错，但是教科书上不会，相信教科书，书上说1+1等于3也是对的，一切以书为准
教科书上说的"对称区域，被积函数是奇函数才为0"，是说一重积分或者二重、三重积分，这个是曲面积分，应该化为二重积分来算。就是∬y^2 dzdx=∬y^2(-z/y) dxdy=-2∬y^3 dxdy，这时候就可以用对称性来做了。（-z/y是对z求y偏导的意思）但是曲面是关于zOx平面对称啊，不是在dxdy啊，还是没懂，求解释！ 谢谢！！！曲面有方向的，只看积分图...
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教科书上说的"对称区域，被积函数是奇函数才为0"，是说一重积分或者二重、三重积分，这个是曲面积分，应该化为二重积分来算。就是∬y^2 dzdx=∬y^2(-z/y) dxdy=-2∬y^3 dxdy，这时候就可以用对称性来做了。（-z/y是对z求y偏导的意思）
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