sinx/x 零到正无穷的定积分怎么求具体分析
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 16:27:03
sinx/x 零到正无穷的定积分怎么求具体分析
sinx/x 零到正无穷的定积分怎么求
具体分析
sinx/x 零到正无穷的定积分怎么求具体分析
对sinx泰勒展开,再除以x有：
sinx/x=1-x^2/3!+x^4/5!+…+(-1)^(m-1)x^(2m-2)/(2m-1)!+o(1)
两边求积分有：
∫sinx/x·dx
=[x/1-x^3/3·3!+x^5/5·5!+…+(-1)^(m-1)x^(2m-1)/(2m-1)(2m-1)!+o(1)]
从0到无穷定积分
则将0,x(x→00）（这里的x是一个很大的常数,可以任意取）代入上式右边并相减,通过计算机即可得到结果
以上只是个人意见,以下是高手的做法：
（高手出马,非同凡响!）
考虑广义二重积分
I=∫∫ e^(-xy) ·sinxdxdy
D
其中D = [0,+∞)×[0,+∞),
今按两种不同的次序进行积分得
I=∫sinxdx ∫e^(-xy)dy
0 +∞ 0 +∞
= ∫sinx·(1/x)dx
0 +∞
另一方面,交换积分顺序有：
I=∫∫ e^(-xy) ·sinxdxdy
D
=∫dy ∫e^(-xy)·sinxdx
0 +∞ 0 +∞
=∫dy/(1+y^2）=arc tan+∞-arc tan0
0 +∞
= π/2
所以：
∫sinx·(1/x)dx=π/2
0 +∞
使用sinx/x的留数
使用无平穷级数
狄立克雷积分
办法1。考虑∫（0，+infinity）（sin ax）/x这个积分的一致连续性
参加复旦大学欧阳光中《数学分析》 第三版
这个办法比较繁琐 但是比较巧妙了
259 260学了一致连续就能看懂
办法2。复变函数里留数定理也可以解决请参见《复变函数论》第三版 钟玉泉 247页
ps：没有教材可以在网上直接下电子书...
全部展开
狄立克雷积分
办法1。考虑∫（0，+infinity）（sin ax）/x这个积分的一致连续性
参加复旦大学欧阳光中《数学分析》 第三版
这个办法比较繁琐 但是比较巧妙了
259 260学了一致连续就能看懂
办法2。复变函数里留数定理也可以解决请参见《复变函数论》第三版 钟玉泉 247页
ps：没有教材可以在网上直接下电子书
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