求教 已知：a^2=b^2+c^2 求 (a^3+b^3+c^3)/(a^2 *(b+c)+b^2*(a+c)+c^2*(a+b)) 的最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/28 15:47:44
求教 已知：a^2=b^2+c^2 求 (a^3+b^3+c^3)/(a^2 *(b+c)+b^2*(a+c)+c^2*(a+b)) 的最小值
求教 已知：a^2=b^2+c^2 求 (a^3+b^3+c^3)/(a^2 *(b+c)+b^2*(a+c)+c^2*(a+b)) 的最小值
求教 已知：a^2=b^2+c^2 求 (a^3+b^3+c^3)/(a^2 *(b+c)+b^2*(a+c)+c^2*(a+b)) 的最小值
(a^3+b^3+c^3)/(a^2 *(b+c)+b^2*(a+c)+c^2*(a+b))
=[a^3+(b+c)(b^2+c^2-bc)]/[a^2(b+c)+b^2c+b^2a+c^2a+c^2b]
=[a^3+(b+c)(b^2+c^2-bc)]/[a^2(b+c)+b^2c+a(b^2+c^2)+c^2b]
=[a^3+(b+c)(b^2+c^2-bc)]/[a^2(b+c)+b^2c+a^3+c^2b]
=[a^3+(b+c)(b^2+c^2-bc)]/[a^3+a^2(b+c)+bc(b+c)]
=[a^3+(b+c)(a^2-bc)]/[a^3+(b+c)(a^2+bc)] bc
由2（a³+b³+c³）-[a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b）
=2a³+2b³+2c³-a²b-a²c-b²a-b²c-c²a-c²b
=a²（a-b）+a²（a-c）+b²（b-a）+b&...
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由2（a³+b³+c³）-[a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b）
=2a³+2b³+2c³-a²b-a²c-b²a-b²c-c²a-c²b
=a²（a-b）+a²（a-c）+b²（b-a）+b²（b-c）+c²（c-a）+c²（c-b）
=（a²-b²）（a-b）+（a²-c²）（a-c）+（b²-c²）（b-c）
=（a+b）（a-b）²+（b+c）（b-c）²+（c+a）（c-a）²≥0
∴2（a³+b³+c³）≥[a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b），
得（a³+b³+c³）/[a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b）≥1/2.
即最小值是1/2.
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