高数----多元函数微分学在几何上的应用设曲面方程为xyz=a^3(a>0),证明曲面上任意点的切平面与三个坐标围成的四面体的体积为常数

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 04:20:16
高数----多元函数微分学在几何上的应用设曲面方程为xyz=a^3(a>0),证明曲面上任意点的切平面与三个坐标围成的四面体的体积为常数高数----多元函数微分学在几何上的应用设曲面方程为xyz=a^

高数----多元函数微分学在几何上的应用设曲面方程为xyz=a^3(a>0),证明曲面上任意点的切平面与三个坐标围成的四面体的体积为常数
高数----多元函数微分学在几何上的应用
设曲面方程为xyz=a^3(a>0),证明曲面上任意点的切平面与三个坐标围成的四面体的体积为常数

高数----多元函数微分学在几何上的应用设曲面方程为xyz=a^3(a>0),证明曲面上任意点的切平面与三个坐标围成的四面体的体积为常数
设曲面上任意一点坐标(x0,y0,z0)
满足x0*y0*z0=a^3
该点处法向量=(y0*z0,x0*z0,x0*y0)
切平面方程为：
y0*z0*(x-x0)+x0*z0*(y-y0)+x0*y0*(z-z0)=0
该平面与x、y、z轴相交得到一个四面体
把x0=0,y0=0代入得到z=3*z0
同理可得：x=3*x0,y=3*y0
该四面体互相垂直的三条棱长分别为l(x)=3*x0、l(y)=3*y0、l(z)=3*z0
体积=S(xy)*l(z)/3
=l(x)*l(y)*l(z)/6
=(3^3)*(x0*y0*z0)/6
=27*a^3/6
=9*a^3/2

三个坐标面所围成的体积为一定数9*a^3/2

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