有关直线与圆位置的问题.急已知圆C：x^2+y^2-2x+4y-4=0 问是否存在斜率为1的直线L,使圆C截得弦AB满足AB为直径的圆经过原点.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 04:46:11
有关直线与圆位置的问题.急已知圆C：x^2+y^2-2x+4y-4=0 问是否存在斜率为1的直线L,使圆C截得弦AB满足AB为直径的圆经过原点.
有关直线与圆位置的问题.急
已知圆C：x^2+y^2-2x+4y-4=0 问是否存在斜率为1的直线L,使圆C截得弦AB满足AB为直径的圆经过原点.
有关直线与圆位置的问题.急已知圆C：x^2+y^2-2x+4y-4=0 问是否存在斜率为1的直线L,使圆C截得弦AB满足AB为直径的圆经过原点.
存在.
x^2+y^2-2x+4y-4=0可转化为
（x-1）^2+（y+2）^2=9
圆C中心坐标为（1,-2）.
通过原点的直线且斜率为1的直线方程为y=x
只要该直线与圆有两个交点,即此命题成立.
将直线方程代入圆方程可得：
2x^2+2x-4=0得两个解
x1=1,x2=-2
所以存在这样的一条直线L.
不存在。
证明过程你自己写。
思路是这样的：
斜率为1的直线直径过原点，说明AB在坐标轴上。（直径对角为直角。）
C没有两个点在坐标轴上斜率为1.
（x-1）²+（y+2）²=3²=9
设直线L为Y=X+A
代入圆C消去Y得2X^2+(2A+2)X+A^2+4A-4=0
故（X1+X2）/2 =-（A+1）/2 （Y1+Y2）=（A-1）/2
弦长为根号(18-2A^2-12A)
所以（A+1）^2/4+（A-1）^2/4 =(18-2A^2-12A)/4
全部展开
（x-1）²+（y+2）²=3²=9
设直线L为Y=X+A
代入圆C消去Y得2X^2+(2A+2)X+A^2+4A-4=0
故（X1+X2）/2 =-（A+1）/2 （Y1+Y2）=（A-1）/2
弦长为根号(18-2A^2-12A)
所以（A+1）^2/4+（A-1）^2/4 =(18-2A^2-12A)/4
解得A1=4 A2=-1
A1=4（舍去）
因此存在这样的直线
Y=X-1
方法就是假设存在
然后根据弦的中点到原点的距离=弦长的一半
列式解答求出A
节下来检验A是否满足题仪即L要与圆C相交求出A的范围
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不妨设直线L的方程为 x - y + m = 0 （其中，m为常数）
圆C的方程可化为：(x-1)²+(y+2)² = 3²， 圆心为C(1，-2)，半径为3
设圆心C到直线L的距离为 a
根据点到直线距离公式，有
a = |1-(-2) + m|/√(1²+1²) ...
全部展开
不妨设直线L的方程为 x - y + m = 0 （其中，m为常数）
圆C的方程可化为：(x-1)²+(y+2)² = 3²， 圆心为C(1，-2)，半径为3
设圆心C到直线L的距离为 a
根据点到直线距离公式，有
a = |1-(-2) + m|/√(1²+1²) = |m+3|/√2…………………………（*）
由题意，可知 弦AB = 2a
则， △ABC为等腰直角三角形，
且有， (2a)² = 3² + 3²
则，a = 3/√2
代回（*）式，得 |m+3|/√2 = 3/√2
解得，m=0 或 -6
∴存在直线L x-y = 0或 x-y - 6 = 0， 均可满足题意。
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