x^2=4y,直线l过焦点与抛物线交于A,B两点,过A,B的切线为l1,l2（1）求证L1垂直L2(2)证明：L1与L2的焦点在准线上
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/15 22:43:02
x^2=4y,直线l过焦点与抛物线交于A,B两点,过A,B的切线为l1,l2（1）求证L1垂直L2(2)证明：L1与L2的焦点在准线上
x^2=4y,直线l过焦点与抛物线交于A,B两点,过A,B的切线为l1,l2
（1）求证L1垂直L2
(2)证明：L1与L2的焦点在准线上
x^2=4y,直线l过焦点与抛物线交于A,B两点,过A,B的切线为l1,l2（1）求证L1垂直L2(2)证明：L1与L2的焦点在准线上
（1）
∵直线l与抛物线x^2＝4y相交于两点,∴直线l存在斜率,令其斜率为k.
由抛物线方程x^2＝4y,得其焦点F的坐标为（1,0）,∴直线l的方程是y＝kx＋1.
∵A、B都在直线y＝kx＋1上,∴可设A、B的坐标分别为（m,km＋1）、（n,kn＋1）.
联立：y＝kx＋1、x^2＝4y,消去y,得：x^2＝4kx＋4,∴x^2－4kx－4＝0.
显然,m、n是方程x^2－4kx－4＝0的两根,∴由韦达定理,有：mn＝－4.
对x^2＝4y两边求导数,得：2x＝4y′,∴y′＝（1/2）x.
∴过A的切线l1的斜率k1＝（1/2）m、过B的切线l2的斜率k2＝（1/2）n.
∴k1k2＝［（1/2）m］［（1/2）n］＝（1/4）mn＝（1/4）×（－4）＝－1,
∴l1⊥l2.
（2）
自然,l1、l2的方程分别为：y－km－1＝（1/2）m（x－m）、y－kn－1＝（1/2）n（x－n）.
∴2y－2km－2＝mx－m^2、2y－2kn－2＝nx－n^2,
∴2ny－2kmn－2n＝mnx－m^2·n、2my－2kmn－2m＝mnx－mn^2.
两式相减,消去x,得：2y（m－n）－2（m－n）＝mn（m－n）,显然m、n不等,
∴2y－2＝mn＝0,∴2y＝mn＋2＝－4＋2＝－2,∴y＝－1.
∴l1、l2的交点的纵坐标为－1.
由抛物线方程x^2＝4y,得：抛物线的准线方程是y＝－1,∴l1、l2的交点在抛物线的准线上.