已知a、b、c均为正整数,且满足a^2+b^2=c^2,又a为质数.证明:（1）.b与c两数必为一奇一偶 （接下）（2）2*（a+b+1）是完全平方数.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 17:19:17
已知a、b、c均为正整数,且满足a^2+b^2=c^2,又a为质数.证明:（1）.b与c两数必为一奇一偶 （接下）（2）2*（a+b+1）是完全平方数.
已知a、b、c均为正整数,且满足a^2+b^2=c^2,又a为质数.证明:（1）.b与c两数必为一奇一偶 （接下）
（2）2*（a+b+1）是完全平方数.
已知a、b、c均为正整数,且满足a^2+b^2=c^2,又a为质数.证明:（1）.b与c两数必为一奇一偶 （接下）（2）2*（a+b+1）是完全平方数.
1. 根据已知假设a=2,则按照最差的情况c至少为3和b为2,那么c方-b方=5>a方=4,因此a不可能为2,所以a必为奇数,且最小值为3.
已知奇+偶=奇,奇+奇=偶,根据排除法b与c两数必为一奇一偶.
2.若满足结论,a+b必为奇数（否则带有根号2,这时就成了无理数的完全平方）,则由条件a为奇数,b必为偶数.
反证法,若a为质数,b为奇数,则c为偶数,能否推出条件矛盾,不知道该如何证明了,举例子3,4,5和5,12,13满足结论,但具体该如何操作,我进行不下去了.
（1）因为a^2+b^2=c^2
a^2=c^2-b^2=(c+b)(c-b)
因为a是质数，而(c+b)(c-b)也是质数，(c+b)不等于(c-b) 所以不可能都等于a，所以c-b=1，c+b=a^2，得到c=b+1
所以b与c两数必为一奇一偶
（2）将c=b+1代入原式得：
a^2+b^2=(b+1)^2=b^2+2b+1
得到a^2...
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（1）因为a^2+b^2=c^2
a^2=c^2-b^2=(c+b)(c-b)
因为a是质数，而(c+b)(c-b)也是质数，(c+b)不等于(c-b) 所以不可能都等于a，所以c-b=1，c+b=a^2，得到c=b+1
所以b与c两数必为一奇一偶
（2）将c=b+1代入原式得：
a^2+b^2=(b+1)^2=b^2+2b+1
得到a^2=2b+1
则a^2+2a+1=2b+1+2a+1=2(a+b+1)
左边等于（a+1）^2是一个完全平方数，所以右边2(a+b+1)是一个完全平方数，得证。
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