已知a,b,c是三角形ABC的三条边的长,求证：(a^2+b^2-c^2)^2-4a^2b^2
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/23 22:30:26
已知a,b,c是三角形ABC的三条边的长,求证：(a^2+b^2-c^2)^2-4a^2b^2
已知a,b,c是三角形ABC的三条边的长,求证：(a^2+b^2-c^2)^2-4a^2b^2
已知a,b,c是三角形ABC的三条边的长,求证：(a^2+b^2-c^2)^2-4a^2b^2
(a^2+b^2-c^2)^2-4a^2b^2
平方差
=(a^2+2ab+b^2-c^2)(a^2-2ab+b^2-c^2)
=[(a+b)^2-c^2][(a-b)^2-c^2]
=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)
三角形两边之和大于第三边
所以a+b-c>0
a-b+c>0
a-b-c0
三正一负,相乘小于
所以(a^2+b^2-c^2)^2-4a^2b^2
原不等式左边可化为
(a^2+b^2-c^2+2ab)(a^2+b^2-c^2-2ab)
=[(a+b)^2-c^2][(a-b)^2-c^2]
=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)
因为两边之和大于第三边
所以(a+b-c)>0
因为两边之差小于第三边
所以(a-b-c)<0
因为三角形三边都大于0
所...
全部展开
原不等式左边可化为
(a^2+b^2-c^2+2ab)(a^2+b^2-c^2-2ab)
=[(a+b)^2-c^2][(a-b)^2-c^2]
=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)
因为两边之和大于第三边
所以(a+b-c)>0
因为两边之差小于第三边
所以(a-b-c)<0
因为三角形三边都大于0
所以(a+b+c)>0,(a-b+c)>0
所以原式<0
收起
分解因式：
(a^2+b^2-c^2)^2-4a^2b^2
=(a^2+b^2-c^2+2ab)(a^2+b^2-c^2-2ab)
=[(a+b)^2-c^2][(a-b)^2-c^2]
=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c).
两边之和大于第三边
(a+b+c)>0
(a+b-c)>0
(a-b+c)=(a+c-b)>0
(a-b-c)=[a-(b+c)]<0
所以 (a^2+b^2-c^2)^2-4a^2b^2<0
设c边所对的角为C
∵(a^2+b^2-c^2)^2-4a^2b^2 = (a^2+b^2-c^2+2ab)(a^2+b^2-c^2+2ab),cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)
∴(a^2+b^2-c^2)^2-4a^2b^2=(2ab(cosC+1))(2ab(cosC-1))
∵C为三角形内角
∴0
全部展开
设c边所对的角为C
∵(a^2+b^2-c^2)^2-4a^2b^2 = (a^2+b^2-c^2+2ab)(a^2+b^2-c^2+2ab),cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)
∴(a^2+b^2-c^2)^2-4a^2b^2=(2ab(cosC+1))(2ab(cosC-1))
∵C为三角形内角
∴0
∵(a^2+b^2-c^2)^2-4a^2b^2=4a^2b^2(cosC+1)(cosC-1)
∴(a^2+b^2-c^2)^2-4a^2b^2<0
证毕。
收起