函数F(x)=log2(x+8-b/x)在【1,+∞)上是增函数,求实数b的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 02:04:11
函数F(x)=log2(x+8-b/x)在【1,+∞)上是增函数,求实数b的取值范围
函数F(x)=log2(x+8-b/x)在【1,+∞)上是增函数,求实数b的取值范围
函数F(x)=log2(x+8-b/x)在【1,+∞)上是增函数,求实数b的取值范围
首先,x=1时真数大于0,可得b<9.
由题知,须y=x+8-b/x在【1,+∞)上是增函数,
若b≥0,则显然满足；
若b<0,则由对勾函数或导数知,当x≥√(-b)时,y=x+8-b/x是增函数,
所以,只须√(-b)≤1,即b≥ -1,故 -1≤b<0.
综上,-1≤b<9.
要保证F(x)=log2(x+8-b/x)在[1,+∞)上是增函数，结合到函数G(x)=log2 x在(0,+∞)上是增函数,
故只需保证f(x)=x+8-b/x在[1,+∞)上是增函数即可
先对f(x)=x+8-b/x求导
f(x)=x+8-b/x，f'(x)=1+b/x^=(x^+b)/x^
要使f(x)=x+8-b/x在[1,+∞)上是增函数，即要保...
全部展开
要保证F(x)=log2(x+8-b/x)在[1,+∞)上是增函数，结合到函数G(x)=log2 x在(0,+∞)上是增函数,
故只需保证f(x)=x+8-b/x在[1,+∞)上是增函数即可
先对f(x)=x+8-b/x求导
f(x)=x+8-b/x，f'(x)=1+b/x^=(x^+b)/x^
要使f(x)=x+8-b/x在[1,+∞)上是增函数，即要保证f'(x)在[1,+∞)上大于等于0，
f'(x)=1+b/x^=(x^+b)/x^：
1、若b>0,则f'(x)在[1,+∞)上是减函数，f'(x)=1+b/x^=(x^+b)/x^>=0是恒成立的,
2、若b=0,则f'(x)在[1,+∞)上是常数，f'(x)=1+b/x^=(x^+b)/x^>=0是恒成立的,
3、若b<0,则f'(x)在[1,+∞)上是增函数，要使f'(x)=1+b/x^=(x^+b)/x^>=0恒成立，则可令f'(1)>=0
则b>=-1
综上所述，b>=-1满足要求 [-1,+∞)
是否可以解决您的问题？
收起