三角形ABC是等边三角形,P是射线BC上一点,在射线AC上作点M,使MC=BP,再以MC为边长作等边三角形MNC,求证：AP=AN.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 22:46:33
三角形ABC是等边三角形,P是射线BC上一点,在射线AC上作点M,使MC=BP,再以MC为边长作等边三角形MNC,求证：AP=AN.
三角形ABC是等边三角形,P是射线BC上一点,在射线AC上作点M,使MC=BP,再以MC为边长作等边三角形MNC,求证：AP=AN.
三角形ABC是等边三角形,P是射线BC上一点,在射线AC上作点M,使MC=BP,再以MC为边长作等边三角形MNC,求证：AP=AN.
证明①,点P、M在三角形外边
∵⊿ABC是等边三角形
∴BC=AC,∠ACB=60°
又∵MC=BP
∴MC-AC=BP-BC
∴AM=CP
∵⊿MNC是等边三角形
∴MN=CN,∠MNC=60°
∴∠AMN=60°
又∵∠ACB=60°
∴∠NCP=180°-∠ACB-∠ACN=180°-60°-60°=60°
∴∠AMN=∠NCP
∴⊿AMN≌⊿PCN (边角边定理）
∴AN=PN,∠ANM=∠PNC
∴∠ANP+∠ANC=∠PNC+∠ANC
∴∠MNC=∠ANP=60°
∴⊿ANP是等边三角形 （两边相等,且夹角是60°,这个三角形是等边三角形）
∴AP=AN
证明②,点P、M在三角形里面,点P'、M'、N'替代P、M、N
∵⊿ABC是等边三角形
∴AB=AC,∠ABC=∠ACB=60°
∵⊿MNC是等边三角形
∴CM=CN,∠MCN=60°
又∵CM在AC上
∴CN在BC上 (同角则同边)
又∵MC=BP
∴CN=BP
∴⊿ABP≌⊿ACN （边角边定理）
∴AP=AN
证明③,点P、M在三角形外边,点N"替代N
∵⊿ABC是等边三角形
∴BC=AC,∠ABC=∠ACB=60°
∵⊿MMC是等边三角形
∴MC=NC,∠MCN=60°
又∵AC在MC上
∴BC在NC上 (同角则同边）
又∵MC=BP
∴NC=BP
∴⊿ANC≌⊿APB （边角边定理）
∴AP=AN