给我出几道！有代表性的

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初中数学竞赛专题选讲
线段、角的相等关系
一、内容提要
证明线段、角的相等,在直线形中,最常用的方法是找全等三角形或等腰三角形,若没有现成的,则要引辅助线,构造全等三角形或等腰三角形.
构造全等三角形,要充分利用已知条件中的对应相等关系,添引辅助线要有利于增加对应相等的元素,要注意总结辅助线的规律,观察两个三角形全等时的一般位置特点（如翻转、旋转、平移等）
一. 证明两条线段相等常用的定理
1. 在同一个三角形中,证明等角对等边.
2. 在两个三角形中,证明全等.
3. 在平行线图形中①应用平行四边形的性质
②用平行线等分线段定理
4.运用比例式证明相等：若 则x=y；若 则x=y
5.应用等量代换、等式性质
二.证明两个角相等常用的定理
1. 在同一个三角形中,证明等边对等角.
2. 在两个三角形中,证明全等或相似.
3.在平行线图形中
① 用平行四边形的对角相等
② 行线的同位角相等,内错角相等
③ 边分别互相平行（或垂直）的两个锐角（或两个钝角）相等
④ 角（或等角）的余角（或补角）相等
⑤ 用等量代换、等式性质
二、例题
例1.证明等腰梯形的判定定理“同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形”
已知：梯形ABCD中,AB‖CD,∠A＝∠B
求证：AD＝BC
下面提供三种基本证法：
1. 把BC、AD集中到同一个三角形,证它等腰三角形.
辅助线是：过点D作DE‖BC,我们称它为“平移”
∵BCDE是平行四边形,可证△DAE为等腰三角形
2. 以BC、AD为对应边,构造两个全等三角形,为增加对应相等的元素,辅助线为：作两条高CM和DN,根据夹在平行线间的平行线段相等,可用角角边证全等.
3. 由∠A＝∠B,可造等腰三角形,运用比例式性质证明,辅助线是：分别延长AD和BC交于P. P
D C D C D C
A E B A N M B A B
例2.已知：在梯形ABCD中,AB‖CD,AC和BD相交于O,AD、BC的延长线相交于P
求证：PO平分AB
证明：设PO延长线交AB于E,交CD于F
∵AB‖CD
∴ ＝ ＝ ① ＝ ＝ ②
①×②得
∴AE2＝BE2 ∵AE＞0,BE＞0
∴AE＝BE,即PO平分AB
例3.已知：△ABC中,AC＝3AB,AF是∠A的平分线,
过点C作CD⊥AF,D是垂足
求证：AD被BC平分 A
证明：以AD为轴作△ADC的对称三角形ADE B
那么DE＝DC,AE＝AC＝3AB,BE＝2AB G F
取BE的中点G,连结DG E C
则DG‖BC,∵AB＝BG D
∴AF＝FD,即AD被BC平分
例4.已知：在△ABC中,分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM,和CAN,P是边BC的中点
求证：PM＝PN （1991年泉州市初二数学双基赛题）
证明：取AB中点Q,AC中点R
连结PQ,PR,MQ,NR
PQ‖AC,PQ＝ AC＝NR
PR‖AB,PR＝MQ
∠PQM＝∠PRN（两边分别垂直）
∴△PQM≌△NRP, PM＝PN
例5.已知：四边形ABCD中AD＝BC,E,F分别是AB、CD的中点,
延长AD,BC和EF的延长线分别交于G,H
求证：∠AGE＝∠BHE
证明：连结AC,取AC的中点P,连结PE,PF
∵PE是△ABC的中位线,
∴PE‖BC,PE＝ BC,
同理PF‖AD,PF＝ AD
∴∠PEF＝∠BHE,∠PFE＝∠AGE
∵AD＝BC,∴PE＝PF,∠PEF＝∠PFE
∴ ∠AGE＝∠BHE
例6.已知：△ABC中,∠A＝Rt∠,点O是正方形BCDE对角线的交点
求证：AO是∠A的平分线
证明：过点O作OF⊥OA交AC的延长线于F
∵∠ABC,∠FCO都是∠ACO的补角
∴ ∠ABC＝∠FCO
∵∠AOB,∠FOC都是∠AOC的余角
∴ ∠AOB＝∠FOC
又∵OB＝OC
∴△ABO≌△FCO
∴AO＝FO, ∠F＝∠OAF＝45
∴ AO是∠A的平分线
（△FCO是△ABC绕点旋转90 后的位置）
又证： ∵∠BAC＋∠BOC＝180
∴A,B,O,C四点共圆,
过ABOC四点作辅助圆,在这个圆中
∵弦OB＝弦OC
∴弧OB＝弧OC
∴圆周角BAO＝∠OAC
即 AO是∠A的平分线
三、练习
1. 在等边△ABC的边AB,BC,CA上分别截取AD＝BE＝CF,连结AE,BF,CD它们两两相交于P,Q,R,则△PQR也是等边三角形
2. 已知：如图AB＝AC,AD＝AE
求证：AF平分∠BAC
3. 如图P,Q,R是等边三角形ABC三边的中点,M是BC上的任意点,以PM为一边作等边三角形PMN,则RN＝QM
4. 如图△ABD,△BCE都是等边三角形,ADEF是平行四边形,则△CAF也是等边三角形
② ③ ④
5. 四边形ABCD中,AC＝BD,E,F分别是AD,BC的中点,求证：EF和AC,BD相交所成的两个锐角相等
6. 锐角三角形ABC中,以AB,AC为边作两个正方形ABDE,ACFG,高AH的延长线交EG于M,求证：①ME＝MG,②AM＝ BC
7. △ABC的∠C＝Rt∠,∠A＝30 ,以AB,AC为边向形外作等边三角形ABD,ACE,求证 DE被AB平分
8. 等腰直角三角形ABC中,∠A＝Rt∠,BE是中线,AD⊥BE交BC于D,交BE于F,求证：∠AEB＝∠DEC
9. 等腰直角三角形ABC中,∠A＝Rt∠,AD‖BC,且BD＝BC,设BD和AC相交于E,求证CD＝CE
10. △ABC中,AD是高,若AB＋DC＝AC＋BD,则AB＝AC
11. D,E分别在等边三角形ABC的边BA,BC的延长线上,AD＝BE求证DC＝DE
12. 正方形ABCD中,E,F分别在BC,CD上且∠EAF＝45 ,AH是
△ AEF的高,求证 AH＝AB
13. 梯形ABCD中,AB‖CD,MN‖AB交AD于M,交BC于N交AC于E,交BD于F则ME＝NF
14. 正方形ABCD中,E,F是AB延长线上的两个点,BE＝BC,BF＝BD,DF交BC于G,交CE于H求证：CH＝CB,HG＝HF
练习题参考答案
1. 先△ABE≌△BCF≌△CAD,2.三次全等,3.证△PQM≌△PRN
4.△ABC≌△DBE,∠BAC＋ ∠DAF＝∠BDE＋∠DEF＝60 ＋180
1. 取CD的中点M,连结ME,MF 6. △EAM≌△ABH
5. 作△ABD的高DF,证△BDF≌△BAC
6. 作斜边上高,找全等三角形
7. 求出∠DBC＝30 ,有两种图形
8. 延长BC到N,使CN＝AB,延长CB到M,使BM＝AC,
证△AMD≌△AND,△CAN≌△MBA
9. 延长BE到F,使EF＝BC
10. 延长CB到G使BG＝DF
13. 证明
14.∠CDF＝∠F＝∠BDF＝∠DHC＝22.5

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