一个自然数除以3余1,除以5余3,除以7余5,除以11余3,求满足条件的最小自然数
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 18:58:33
一个自然数除以3余1,除以5余3,除以7余5,除以11余3,求满足条件的最小自然数
一个自然数除以3余1,除以5余3,除以7余5,除以11余3,求满足条件的最小自然数
一个自然数除以3余1,除以5余3,除以7余5,除以11余3,求满足条件的最小自然数
用剩余定理,由于除5和除11皆余3,可以合并为除55余3,因此有（3,7）＝21,（3,55）＝165,（7,55）＝385,（3,7,55）＝1155,为使21除55余3,因此,21×8＝168,同理,165×3＝495,385×1＝385,168+495+385＝1048,1048模1155余1048,所以1048为所求满足条件的最小自然数.
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x mod 3 = 1，那么x = 1, 4, 7, 10, 13, ...
x mod 5 = 3，那么x = 3, 8, 13, 18, 23, ...
所以，同时满足上面两个条件的x = 13, 28, 43, ...
x mod 7 = 5，那么x = 5, 12, 19, 26, 33, ...
x mod 11 = 3，那么x = 3, 14, 25, ...
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x mod 3 = 1，那么x = 1, 4, 7, 10, 13, ...
x mod 5 = 3，那么x = 3, 8, 13, 18, 23, ...
所以，同时满足上面两个条件的x = 13, 28, 43, ...
x mod 7 = 5，那么x = 5, 12, 19, 26, 33, ...
x mod 11 = 3，那么x = 3, 14, 25, 36, 47, ...
同时满足这两个条件的x = 47, 124, 201, ...
所以最小自然数就是1048
收起
除3余1的数与5、7、11的最小公倍数有关，可知为5*7*11＝385
除5余1的数与3、7、11的最小公倍数有关，可知为3*7*11＝231
除7余1的数与3、5、11的最小公倍数有关，可知为3*5*11*2＝330
除11余1的数与3、5、7的最小公倍数有关，可知为3*5*7*2＝210
故除以3余1，除以5余3，除以7余5，除以11余3的自然数
＝5*...
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除3余1的数与5、7、11的最小公倍数有关，可知为5*7*11＝385
除5余1的数与3、7、11的最小公倍数有关，可知为3*7*11＝231
除7余1的数与3、5、11的最小公倍数有关，可知为3*5*11*2＝330
除11余1的数与3、5、7的最小公倍数有关，可知为3*5*7*2＝210
故除以3余1，除以5余3，除以7余5，除以11余3的自然数
＝5*7*11+3*7*11*3+3*5*11*2*5+3*5*7*2*3＝3358
再减去3、5、7、11的最小公倍数，3358-3*5*7*11*2＝1048
故此数是1048
收起
一个自然数除以3余1，除以5余3，除以7余5
说明这个数加2，就是3、5、7的倍数，即105的倍数
设这个数为x，是105的y倍
则x+2=3*5*7y x+2=105y (1)
又知这个数除以11余3，可设(x-3)/11=m
x-3=11m (2)
(1)-(2) 105y-11m=5
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一个自然数除以3余1，除以5余3，除以7余5
说明这个数加2，就是3、5、7的倍数，即105的倍数
设这个数为x，是105的y倍
则x+2=3*5*7y x+2=105y (1)
又知这个数除以11余3，可设(x-3)/11=m
x-3=11m (2)
(1)-(2) 105y-11m=5
可见m是5的倍数，m=95时，y=10满足条件
此时x=105*10-2=1048
即为所求
收起
1048,绝对