已知函数f(x)是定义[-1,1]上的奇函数,在[0,1]上f(x)=2^x+ln(x+1)-1(1)求函数f(x)的解析式 （2）判断f(x)在[-1,1]上的单调性(3)解析式f(2x+1)+f(1-x^2)≥0
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 00:16:16
已知函数f(x)是定义[-1,1]上的奇函数,在[0,1]上f(x)=2^x+ln(x+1)-1(1)求函数f(x)的解析式 （2）判断f(x)在[-1,1]上的单调性(3)解析式f(2x+1)+f(1-x^2)≥0
已知函数f(x)是定义[-1,1]上的奇函数,在[0,1]上f(x)=2^x+ln(x+1)-1
(1)求函数f(x)的解析式 （2）判断f(x)在[-1,1]上的单调性
(3)解析式f(2x+1)+f(1-x^2)≥0
已知函数f(x)是定义[-1,1]上的奇函数,在[0,1]上f(x)=2^x+ln(x+1)-1(1)求函数f(x)的解析式 （2）判断f(x)在[-1,1]上的单调性(3)解析式f(2x+1)+f(1-x^2)≥0
答：
（1）-1
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1、(1)∵在[0,1]上f(x)=2^x＋ln(x＋1)－1
令﹣1≤x≤0，则0≤﹣x≤1
∴f（﹣x）=2^（﹣x）＋ln(﹣x＋1)－1...........①
又f（x）为奇函数
∴f(﹣x)=﹣f(x).........②
∴f(x)=﹣f(﹣x)=﹣2^（﹣x）－ln(﹣x＋1)＋1 , x∈[﹣1,0]
...........{ ﹣2...
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1、(1)∵在[0,1]上f(x)=2^x＋ln(x＋1)－1
令﹣1≤x≤0，则0≤﹣x≤1
∴f（﹣x）=2^（﹣x）＋ln(﹣x＋1)－1...........①
又f（x）为奇函数
∴f(﹣x)=﹣f(x).........②
∴f(x)=﹣f(﹣x)=﹣2^（﹣x）－ln(﹣x＋1)＋1 , x∈[﹣1,0]
...........{ ﹣2^（﹣x）－ln(﹣x＋1)＋1 , x∈[﹣1,0]
∴f(x)={ 2^x＋ln(x＋1)－1 , x∈[0,1]
........................................................................................................
(2)易知y=2^x, y=ln(x＋1)在区间【0，1】上均为增函数。
∴f(x)=2^x＋ln(x＋1)－1在区间【0，1】上也为增函数。
又由奇函数在对称区间的单调性相同知，
∴函数f(x)=﹣2^（﹣x）－ln(﹣x＋1)＋1在【﹣1,0】上也为增函数。
即：函数f(x在【﹣1,1】上为增函数。
......................................................................................................
补充：
2、∵不等式f(2x＋1)＋f(1－x²)≥0
∴不等式满足：
﹣1≤2x＋1≤1..................①
﹣1≤1－x²≤1...................②
又不等式＝＞f(2x＋1)≥﹣f(1－x²）
＝＞f(2x＋1)≥f(x²－1），又由1题知，f(x）在【﹣1,1】上为增函数。
∴2x＋1≥x²－1......................③
由①②③得：
补充：
1－√3≤x≤0
∴不等式的解为{x | 1－√3≤x≤0}
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