如图,在RT三角形ABC中,角BAC=90度,AB=AC,点D是AB的中点,AE垂直CD于H交BC于F,BE‖AC交AF的延长线于E,求证：BC垂直且平分DE
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 13:08:13
如图,在RT三角形ABC中,角BAC=90度,AB=AC,点D是AB的中点,AE垂直CD于H交BC于F,BE‖AC交AF的延长线于E,求证：BC垂直且平分DE
如图,在RT三角形ABC中,角BAC=90度,AB=AC,点D是AB的中点,AE垂直CD于H交BC于F,BE‖AC交AF的延长线于E,求证：BC垂直且平分DE
如图,在RT三角形ABC中,角BAC=90度,AB=AC,点D是AB的中点,AE垂直CD于H交BC于F,BE‖AC交AF的延长线于E,求证：BC垂直且平分DE
证明：
∵∠BAC=90°,AH⊥CD
∴∠BAE+∠CAH=∠ACD+∠CAH=90°
∴∠BAE-∠ACD
∵AC=AB,∠ABE=∠CAD=90°
∴△ABE≌△ACD
∴AD=BE
∵AD=BD
∴BD=BE
∵∠DBC=∠EBC=45°
∴BC垂直平分DE（等腰三角形三线合一）
∵ AE垂直CD于H交BC于F，
∴ AH⊥CD
∠AHC=90 ∠ACD=∠ACD
∴RT△ADC ∽ RT△AHC
∴∠ADC=EAC (对应角相等)
∵BE‖AC
∴∠BAC=∠ABE=90 ∠BEA=∠EAC（两直线平行，内错角相等）
∴∠BEA=∠ADC ∠BAE=∠DCA
在RTADC，RT△ABE中...
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∵ AE垂直CD于H交BC于F，
∴ AH⊥CD
∠AHC=90 ∠ACD=∠ACD
∴RT△ADC ∽ RT△AHC
∴∠ADC=EAC (对应角相等)
∵BE‖AC
∴∠BAC=∠ABE=90 ∠BEA=∠EAC（两直线平行，内错角相等）
∴∠BEA=∠ADC ∠BAE=∠DCA
在RTADC，RT△ABE中
又∵ AB=AC（已知） ∠ABC =∠ACB=45
∴RTADC≌RT△ABE（角，边，角）
∴BE=DA=DB ∠BDE=∠DEB
∴∠ABC=∠ACB=45
∠CBE=45
∴∠BDE=∠DEB=（180—90）÷2=45
∠BDE=∠DEB=∠ABC=∠CBE=45
∴BC垂直且平分DE
收起
图太不好画了