直角三角形ABC中,角C=90度,CD垂直AB,分别以AC,BC为边向外做等边三角形ACE和BCF.求证：DE垂直DF
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/31 18:13:19
直角三角形ABC中,角C=90度,CD垂直AB,分别以AC,BC为边向外做等边三角形ACE和BCF.求证：DE垂直DF
直角三角形ABC中,角C=90度,CD垂直AB,分别以AC,BC为边向外做等边三角形ACE和BCF.求证：DE垂直DF
直角三角形ABC中,角C=90度,CD垂直AB,分别以AC,BC为边向外做等边三角形ACE和BCF.求证：DE垂直DF
证明：
∵CD⊥AB
∴∠CDB=∠ADC=∠ACB=90º
∵∠ACD+∠DCB=90º
∠DBC+∠DCB=90º
∴∠ACD=∠DBC
∴⊿ACD∽⊿CBD（AA‘）
∴AC/CB=CD/DB
∵⊿ACE 和⊿BCF都是等边三角形
∴EC=AC,BF=CB,∠ACE=∠CBF=60º
∴∠ACE+∠ACD=∠CBF+∠CBD
即∠ECD=∠FBD
又∵EC/BF=CD/BD
∴⊿ECD∽⊿FBD
∴∠EDC=∠FDB
∵∠FDB+∠CDF=90º
∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=90º
即DE⊥DF
证明：∠∵∴
连接EF，则三角形CEF中，∠ECF=360-60-60-90=150度，
∴∠CEF+∠CFE=180-150=30度
考察三角形DBF与DCE
∵三角形ABC为直角三角形，CD垂直于AB，
∴∠ACD=∠CBD
∵三角形ACE与BCF为正三角形，
∴∠ACE=∠CBF=60度，EC=AC，FB=CB
∴∠DCE=∠D...
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证明：∠∵∴
连接EF，则三角形CEF中，∠ECF=360-60-60-90=150度，
∴∠CEF+∠CFE=180-150=30度
考察三角形DBF与DCE
∵三角形ABC为直角三角形，CD垂直于AB，
∴∠ACD=∠CBD
∵三角形ACE与BCF为正三角形，
∴∠ACE=∠CBF=60度，EC=AC，FB=CB
∴∠DCE=∠DBF
DC：EC=AC：DC=CB：DB=FB：DB
即三角形DBF与DCE两个对应的角相等，且此角两边成正比例，
∴∠DEC=∠DFB
∴∠DEC+∠DFC=∠DFB+∠DFC=60度
即在三角形EDF中，∠EDF=180-（∠CEF+∠CFE）-(∠DEC+∠DFC)=180-30-60=90度。
∴DE⊥DF
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